Conceptos Clave en el Modelado de Sistemas
Modelo Matemático
Descripción matemática de un sistema (físico, químico, etc.) mediante ecuaciones que relacionan sus variables, permitiendo predecir su comportamiento.
Sistema Lineal
Sistema que cumple el principio de superposición: si $x_1(t) \rightarrow y_1(t)$ y $x_2(t) \rightarrow y_2(t)$, entonces $a x_1(t) + b x_2(t) \rightarrow a y_1(t) + b y_2(t)$.
Sistema Lineal Invariante en el Tiempo (LTI)
Sistema lineal cuyas propiedades no cambian con el tiempo. Si $x(t) \rightarrow y(t)$, entonces $x(t-\tau) \rightarrow y(t-\tau)$.
Sistema Lineal Variante en el Tiempo
Sistema lineal cuyas propiedades cambian con el tiempo; su comportamiento depende del instante en que se aplica la entrada.
Sistema No Lineal
Sistema que no cumple el principio de superposición. Presenta comportamientos como saturación, histéresis, etc.
Función de Transferencia
Para un sistema lineal invariante en el tiempo, es la relación $G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$, donde $Y(s)$ y $U(s)$ son las transformadas de Laplace de la salida y entrada, respectivamente, con condiciones iniciales nulas.
Relaciones Fundamentales de Componentes Físicos
A continuación, se detallan algunas relaciones de fuerza y voltaje/corriente para elementos comunes:
- Masa (Inercia): Fuerza proporcional a la aceleración (relacionada con la segunda ley de Newton).
- Resorte: $F = k \cdot x$ (donde $x$ es el desplazamiento).
- Amortiguador: $F = b \cdot v$ (donde $v$ es la velocidad).
- Bobina (Inductor):
- Condensador:
- Resistencia: $V = R \cdot I$ (Ley de Ohm).
Tipos de Estructuras de Control
Sistema de Lazo Abierto (Bucle Abierto)
Un sistema de lazo abierto es aquel en el que la acción de control no depende de la salida. Es decir, el sistema no mide el resultado final para saber si debe corregir lo que está haciendo; simplemente sigue las instrucciones preprogramadas.
Componentes Típicos del Lazo Abierto:
- Entrada (Referencia): Es la señal de mando o el valor que deseamos obtener.
- Unidad de Control (Controlador): El dispositivo que procesa la entrada y decide qué orden enviar.
- Actuador: El elemento que ejecuta la acción física (un motor, una resistencia, etc.).
- Proceso (Planta): El sistema que se desea controlar.
- Salida: El resultado obtenido.
Sistema de Lazo Cerrado (Retroalimentación)
Un sistema de lazo cerrado (o de retroalimentación) es aquel en el que la acción de control sí depende de la salida. El sistema mide constantemente lo que está pasando al final del proceso y compara ese resultado con el valor deseado para corregir errores en tiempo real.
Componentes Típicos del Lazo Cerrado:
- Entrada (Set-point): El valor deseado (ej. «quiero $24^{\circ}\text{C}$»).
- Comparador (Error): Resta la señal de salida de la señal de entrada para calcular el error.
- Controlador: Evalúa el error y decide qué acción tomar para eliminarlo.
- Actuador: Ejecuta la acción sobre el proceso.
- Proceso (Planta): La operación que se está controlando.
- Sensor (Retroalimentación): El componente clave que mide la salida real y envía la información de vuelta al comparador.
Repetición de Definiciones de Sistemas
Se reafirman las definiciones de los tipos de sistemas:
Modelo Matemático
Descripción matemática de un sistema (físico, químico, etc.) mediante ecuaciones que relacionan sus variables, permitiendo predecir su comportamiento.
Sistema Lineal
Sistema que cumple el principio de superposición: si $x_1(t) \rightarrow y_1(t)$ y $x_2(t) \rightarrow y_2(t)$, entonces $a x_1(t) + b x_2(t) \rightarrow a y_1(t) + b y_2(t)$.
Sistema Lineal Invariante en el Tiempo (LTI)
Sistema lineal cuyas propiedades no cambian con el tiempo. Si $x(t) \rightarrow y(t)$, entonces $x(t-\tau) \rightarrow y(t-\tau)$.
Sistema Lineal Variante en el Tiempo
Sistema lineal cuyas propiedades cambian con el tiempo; su comportamiento depende del instante en que se aplica la entrada.
Sistema No Lineal
Sistema que no cumple el principio de superposición. Presenta comportamientos como saturación, histéresis, etc.
Función de Transferencia
Para un sistema lineal invariante en el tiempo, es la relación $G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$, donde $Y(s)$ y $U(s)$ son las transformadas de Laplace de la salida y entrada, respectivamente, con condiciones iniciales nulas.
Repetición de Relaciones Físicas
Se reafirman las relaciones de fuerza y voltaje/corriente:
- Fuerza (Masa): Nombre: Masa (inercia).
- Resorte: $F = k \cdot x$ (Se asume que la incógnita se refiere a la constante $k$ o al desplazamiento $x$).
- Amortiguador: $F = b \cdot v$
- Bobina (Inductor):
- Condensador:
- Resistencia: $V = R \cdot I$
Repetición de Estructuras de Control
Sistema de Lazo Abierto (Bucle Abierto)
Un sistema de lazo abierto es aquel en el que la acción de control no depende de la salida. Es decir, el sistema no mide el resultado final para saber si debe corregir lo que está haciendo; simplemente sigue las instrucciones preprogramadas.
Componentes:
- Entrada (Referencia): Es la señal de mando o el valor que deseamos obtener.
- Unidad de Control (Controlador): El dispositivo que procesa la entrada y decide qué orden enviar.
- Actuador: El elemento que ejecuta la acción física (un motor, una resistencia, etc.).
- Proceso (Planta): El sistema que se desea controlar.
- Salida: El resultado obtenido.
Sistema de Lazo Cerrado (Retroalimentación)
Un sistema de lazo cerrado (o de retroalimentación) es aquel en el que la acción de control sí depende de la salida. El sistema mide constantemente lo que está pasando al final del proceso y compara ese resultado con el valor deseado para corregir errores en tiempo real.
Componentes:
- Entrada (Set-point): El valor deseado (ej. «quiero $24^{\circ}\text{C}$»).
- Comparador (Error): Resta la señal de salida de la señal de entrada para calcular el error.
- Controlador: Evalúa el error y decide qué acción tomar para eliminarlo.
- Actuador: Ejecuta la acción sobre el proceso.
- Proceso (Planta): La operación que se está controlando.
- Sensor (Retroalimentación): El componente clave que mide la salida real y envía la información de vuelta al comparador.
Tercera Repetición de Definiciones de Sistemas
Modelo Matemático
Descripción matemática de un sistema (físico, químico, etc.) mediante ecuaciones que relacionan sus variables, permitiendo predecir su comportamiento.
Sistema Lineal
Sistema que cumple el principio de superposición: si $x_1(t) \rightarrow y_1(t)$ y $x_2(t) \rightarrow y_2(t)$, entonces $a x_1(t) + b x_2(t) \rightarrow a y_1(t) + b y_2(t)$.
Sistema Lineal Invariante en el Tiempo (LTI)
Sistema lineal cuyas propiedades no cambian con el tiempo. Si $x(t) \rightarrow y(t)$, entonces $x(t-\tau) \rightarrow y(t-\tau)$.
Sistema Lineal Variante en el Tiempo
Sistema lineal cuyas propiedades cambian con el tiempo; su comportamiento depende del instante en que se aplica la entrada.
Sistema No Lineal
Sistema que no cumple el principio de superposición. Presenta comportamientos como saturación, histéresis, etc.
Función de Transferencia
Para un sistema lineal invariante en el tiempo, es la relación $G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$, donde $Y(s)$ y $U(s)$ son las transformadas de Laplace de la salida y entrada, respectivamente, con condiciones iniciales nulas.
Tercera Repetición de Relaciones Físicas
- Fuerza (Masa): Nombre: Masa (inercia).
- Resorte: $F = k \cdot x$ (Se asume que la incógnita se refiere a la constante $k$ o al desplazamiento $x$).
- Amortiguador: $F = b \cdot v$
- Bobina (Inductor):
- Condensador:
- Resistencia: $V = R \cdot I$
Tercera Repetición de Estructuras de Control
Sistema de Lazo Abierto (Bucle Abierto)
Un sistema de lazo abierto es aquel en el que la acción de control no depende de la salida. Es decir, el sistema no mide el resultado final para saber si debe corregir lo que está haciendo; simplemente sigue las instrucciones preprogramadas.
Componentes:
- Entrada (Referencia): Es la señal de mando o el valor que deseamos obtener.
- Unidad de Control (Controlador): El dispositivo que procesa la entrada y decide qué orden enviar.
- Actuador: El elemento que ejecuta la acción física (un motor, una resistencia, etc.).
- Proceso (Planta): El sistema que se desea controlar.
- Salida: El resultado obtenido.
Sistema de Lazo Cerrado (Retroalimentación)
Un sistema de lazo cerrado (o de retroalimentación) es aquel en el que la acción de control sí depende de la salida. El sistema mide constantemente lo que está pasando al final del proceso y compara ese resultado con el valor deseado para corregir errores en tiempo real.
Componentes:
- Entrada (Set-point): El valor deseado (ej. «quiero $24^{\circ}\text{C}$»).
- Comparador (Error): Resta la señal de salida de la señal de entrada para calcular el error.
- Controlador: Evalúa el error y decide qué acción tomar para eliminarlo.
- Actuador: Ejecuta la acción sobre el proceso.
- Proceso (Planta): La operación que se está controlando.
- Sensor (Retroalimentación): El componente clave que mide la salida real y envía la información de vuelta al comparador.