Introduction à l’Analyse Factorielle (AF)
L’AF est une technique multivariée d’indépendance (il n’y a pas de variable cible, toutes les variables sont au même niveau). L’objectif est de partir de p variables originales corrélées entre elles pour identifier des facteurs latents. En d’autres termes, puisque ces variables sont fortement corrélées, ce qu’elles ont en commun constitue un facteur latent que nous cherchons à identifier. Ces facteurs ne sont pas directement observables et expliquent la relation commune entre plusieurs variables observées.
Fonctions principales de l’AF
- Détecter l’information commune entre les variables.
- Extraire cette information partagée.
- La résumer en k facteurs (où k < p).
- Expliquer une partie de la variance commune via chaque facteur.
Motivations de l’AF
- Réduire la dimensionnalité des données.
- Mesurer des variables non observables qui ne peuvent être quantifiées directement.
Concepts Clés : Charges Factorielles et Communalité
Charges factorielles (Loadings)
Les charges factorielles mesurent à quel point une variable dépend d’un facteur. Elles ne dépendent pas de l’individu, mais de la variable elle-même. Pour interpréter les facteurs, on utilise la matrice des charges factorielles (variables en lignes, facteurs en colonnes).
Partie spécifique (uij)
Tout ce qui n’est pas expliqué par les facteurs est considéré comme aléatoire, indépendant et propre à chaque variable.
Relation avec la corrélation
La charge factorielle indique le degré de relation entre la variable i et le facteur f. Si les facteurs sont normalisés et ne se chevauchent pas, cette charge est exactement égale à la corrélation de Pearson entre la variable et le facteur.
Communalité vs Spécificité
- Communalité (h²) : Proportion de la variance totale expliquée par les facteurs.
- Spécificité (u²) : Partie de la variance non expliquée par les facteurs.
- Équation : h² + u² = 1.
Cas particuliers :
- Cas 1 : Une variable avec une faible communalité n’est pas bien représentée par les facteurs et pourrait être éliminée.
- Cas 2 : Si de nombreuses variables ont une faible communalité, il n’y a pas de structure commune et l’AF n’est pas adéquate.
Sélection des Variables et des Cas
1. Logique analytique
Avant de procéder à l’étude, même exploratoire, il convient d’avoir une idée précise de l’objet d’étude. Cela aide à choisir judicieusement les variables (inputs) et les observations (cas). Il faut éviter de mélanger des données de groupes trop hétérogènes qui rendraient les résultats confus.
2. Qualité des cas
- Taille de l’échantillon : Plus le nombre d’observations est élevé par rapport aux variables, plus les résultats sont robustes.
- Hétérogénéité : L’échantillon doit être varié pour permettre l’identification de modèles significatifs.
3. Qualité des variables
- Mesure fiable : Les variables doivent être exemptes d’erreurs de mesure majeures.
- Données complètes : Il est crucial d’éviter les valeurs manquantes et les valeurs extrêmes (outliers) qui distordent les résultats.
- Type de variable : Les variables doivent être numériques (intervalle ou ratio).
4. Standardisation
Avant de commencer, normalisez toutes les variables. Cela permet de les placer sur une échelle identique afin qu’aucune ne domine l’étude en raison de son unité de mesure.
5. Corrélation entre variables
L’AF cherche à capturer l’information partagée. Idéalement, chaque variable doit être corrélée avec au moins une autre. Les variables isolées doivent être éliminées.
6. Pruebas de adecuación (Tests d’adéquation)
- Test de Bartlett : Vérifie si les variables sont suffisamment liées pour justifier une AF.
- KMO (Kaiser-Meyer-Olkin) : Mesure la qualité de l’échantillonnage. Les valeurs entre 0,8 et 1 sont excellentes ; en dessous de 0,6, l’AF est déconseillée.
Extraction et Rotation des Facteurs
1. Composantes Principales (ACP)
L’ACP permet de résumer les variables originales en un nombre réduit de facteurs. Le premier composant capture la plus grande part de la variance, le second capture le reste de manière indépendante, et ainsi de suite.
2. Qualité des composantes
La quantité d’information est mesurée par la valeur propre (eigenvalue). Par exemple, une valeur propre de 2,8 signifie que le composant contient autant d’informations que 2,8 variables originales.
3. Nombre de facteurs à retenir
L’objectif est d’utiliser un minimum de facteurs sans perte excessive d’information. On utilise souvent le Scree Plot (graphique des éboulis) pour identifier le point d’inflexion. La règle classique est de retenir les facteurs ayant une valeur propre > 1.
4. Interprétation et Rotation
Pour faciliter l’interprétation, on utilise la rotation des facteurs. Elle réorganise les axes pour que chaque variable soit fortement liée à un seul facteur.
- Rotation Orthogonale (Varimax) : Les facteurs restent indépendants.
- Rotation Oblique (Promax, Oblimin) : Les facteurs peuvent être corrélés, ce qui est souvent plus proche de la réalité.
Génération des Scores Factoriels
Les scores factoriels sont de nouvelles variables représentant chaque facteur. Ils sont calculés comme des combinaisons des variables originales et permettent de situer chaque observation par rapport au facteur :
- Une valeur positive indique que l’observation est au-dessus de la moyenne du facteur.
- Une valeur négative indique qu’elle est en dessous.
Ces scores sont essentiels pour utiliser les facteurs comme nouvelles variables dans des études ultérieures.