Limite y continuidad


Límite:


El límite de una función en un punto es el valor al que se acercan las imágenes cuando los valores de x se acercan a ese punto. O Se denota: ???????????? ????→???? ????(????) o En la mayoría de las funciones, el límite en un punto coincide con el valor de la función en ese punto, y entonces se dice que es continua en ese punto.

O Limites laterales


:

▪ Por la izquierda (-):

Valor al que se acercan las imágenes cuando nos acercamos al valor “a”, con números menores que “a”.

▪ Por la derecha (+):

Valor al que se acercan las imágenes cuando nos acercamos al valor “a”, con números mayores que “a”.
o Propiedad de los límites
Una función tiene límite en un punto cuando existen los límites laterales y estos coinciden. O Límites en el infinito
 ▪ El límite de una función cuando “x” tiende a infinito es el valor al que se acercan las imágenes cuando los valores de “x” se hacen muy grandes →  ???????????? ????→ ∞ ????(????).
 ▪ El límite de una función cuando “x” tiende a menos infinito es el valor al que se acercan las imágenes cuando “x” se hace muy grande en valor absoluto, pero negativo → ???????????? ????→ − ∞ ????(????). O Límites infinitos definidos en un punto
▪ Al acercarse a un punto y hacerse las imágenes muy grandes, el límite es +∞, y se denota como → ???????????? ????→???? ????(????) = +∞.
▪ Si al acercarse a un punto, los valores de las imágenes se hacen muy grandes en valores absolutos y negativos, entonces el límite será -∞, y se denota ???????????? ????→???? ????(????) = −∞.
▪ En ambos casos, y en cualquiera que tenga un límite lateral +∞ o -∞, la función tendrá una asíntota vertical en x=a.
Una función es continua en un punto cuando existe el valor en el punto y este coincide.
• Una función es continua cuando lo es en todos los puntos del dominio.
• Gráficamente, una función es continua cuando se puede representar sin levantar el boli de la hoja.
• Discontinuidad o En los puntos en los que la función no es continua, se dice que tiene una discontinuidad.
O Tipos

Evitable:
Se produce cuando falta un único punto o está desplazado. En este punto existe el límite, pero no coindice con el valor en ese punto
.

▪ De primera especie y salto finito:

Se produce cuando los límites laterales son iguales a dos números reales distintos; la diferencia en valor absoluto entre estos dos números se llama salto.
De primera especie y salto infinito:
Se produce cuando alguno de los límites laterales es +∞ o -∞. En ese punto se tiene una asíntota vertical.
De segunda especie:
Se produce cuando no existe alguno de los límites laterales.
Límites en forma analítica o Para calcular el límite de una función que está en forma analítica, se sustituye el valor para el que se calcula el límite en esa función.

• Operaciones con infinito:


Existen varios tipos de operaciones con límites infinitos que no son indeterminaciones (cuaderno).






Indeterminación:


Cuando al calcular el límite de una función obtenemos alguna de las siguientes expresiones (cuaderno), decimos que tenemos una indeterminación.

O Indeterminación K/0:


Solo tiene tres posibilidades: o da +∞, o da -∞, o no existe límite. Para saber cual de ellas es, se calcula el signo de los límites laterales: si ambos son positivos, será +∞; si ambos son negativos, será -∞; y si son diferentes, no existirá el límite.

Indeterminación 0/0:


Se resuelve dependiendo del tipo de función.
▪ Si es racional, se descompone en numerador y denominador, y en factores primos (cada uno), y después se simplifica, tachando los factores iguales.
 ▪ Si se da esta indeterminación con alguna raíz cuadrada, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado.
 • El conjugado de una operación con raíces es otra operación con raíces en la que se cambia la suma que está fuera de la raíz por resta, y viceversa.

Indeterminación ∞/∞


: Existen dos procedimientos: ▪ Procedimiento I: Consiste en comparar el grado del numerador con el grado del denominador. • Grado numerador > grado denominador: Límite = +∞ ó -∞. • Grado numerador < grado denominador: Límite = 0. • Grado numerador = grado denominador: Límite = Cociente de los coeficientes de mayor grado.  ▪ Procedimiento II: Consiste en dividir el numerador y el denominador para la variable “x” elevada al mayor exponente, sabiendo que si se introduce una potencia en una raíz se tiene que elevar al índice de dicha raíz.

Indeterminación ∞ – ∞:


Si se dan dos funciones de distinto grado restadas entre sí, el límite será el de la que tenga mayor grado. ▪ Si restamos 2 funciones con mismo grado, operamos si se puede, y después calculamos el límite. ▪ Si no se puede operar, es porque aparecen raíces cuadradas, y para resolver la indeterminación, se multiplica y divide el conjunto por el conjugado. O

Indeterminación 1∞


: Se basa en el límite de sucesiones:
▪ El método de resolución consiste en transformar el límite que nos den en uno que tuviera la forma anterior, y eso se hace sumando y restando cantidades a la base de la potencia y después multiplicando y dividiendo por el denominador de la base.

Asíntota:


Recta a la que se aproxima la función tanto como se quiera, pero sin llegar a tocarla. • 3 tipos: o A. Vertical (A.V.): Recta vertical. O A. Horizontal (A.H.): Recta horizontal. O A. Oblicua (A.O.): Recta oblicua.

• A.V


Entre los valores que anulen el denominador. Se cumplirá que alguno de los límites laterales sea +∞ o -∞.
 • A.H.
Cuando el límite sea en +∞ o -∞ un número real (a).

• A.O


. Cuando el límite en ∞ no es un número real, es decir, cuando no hay A.H.  Para que haya A.O., el límite de la función dividida para “x” debe ser un número real, y también el límite en ∞ de la función menos el límite anterior por “x” es igual a un número.

• Continuidad:


Las funciones que conocemos hasta ahora son continuas en todo su dominio. En cualquiera de ellas buscaremos el tipo de discontinuidad en los puntos que no están en el dominio. O Si tenemos funciones a trozos, además de lo anterior (hallar límites y/o asíntotas), habrá que buscar la continuidad en los puntos que separan los trozos.  

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