Fundamentos de Álgebra Lineal Numérica: Métodos Directos e Iterativos

Propiedades de las Matrices

Diagonal dominante: La suma en valor absoluto de los términos de una fila debe ser menor que el término de la diagonal principal.
Estrictamente diagonal dominante: |a_ii| > suma de |a_ij| para j ≠ i.
Simétrica: A = A^T.
Definida positiva: Valores propios > 0 y menores principales > 0.
Radio espectral (ρ): Mayor valor propio en valor absoluto de una matriz.

Normas Matriciales

Norma 1: Máximo de la suma por columnas.
Norma 2 (Espectral): √ρ(A^T * A). Es la norma más pequeña.
Norma infinito: Máximo de la suma por filas. Es la que más se aproxima a la realidad.
Propiedad: Para cualquier norma, ρ(A) ≤ ||A||.

Errores y Condicionamiento

Error residual: ||A * x_aprox – b||. Minimizarlo no garantiza que el error absoluto sea pequeño.
Error absoluto: ||x – x_aprox||.
Error relativo: ||x – x_aprox|| / ||x||.
Condicionamiento K(A): ||A|| * ||A^-1||. Un K(A) alto implica que pequeñas perturbaciones provocan grandes cambios en la solución.

Métodos Directos

Gauss

Objetivo: Obtener una matriz triangular superior U para resolver Ux = c. El costo computacional es aproximadamente (2n³)/3 operaciones.

Estrategias de pivotaje: El pivotaje parcial (filas) garantiza estabilidad. El pivotaje total es más estable pero destruye la estructura de la matriz.

Factorización LU

Si los menores principales son no nulos, la descomposición es única. Se resuelve en dos pasos: 1) Ly = b, 2) Ux = y. Para matrices tridiagonales, L y U son bidiagonales.

Cholesky

Requisitos: Matriz simétrica y definida positiva. Estructura: A = L * L^T. Costo computacional: n³/6 (la mitad que Gauss).

Métodos Iterativos

Fórmula general: x^k+1 = B * x^k + C. La condición necesaria y suficiente para la convergencia es ρ(B) < 1.

Jacobi: Desplazamientos simultáneos. B_j = D^-1 * (L + U).
Gauss-Seidel: Desplazamientos sucesivos. B_gs = (D – L)^-1 * U.
SOR (Relajación): B_sor = (D – wL)^-1 * ((1 – w)D + wU).

Problemas de Contorno Estacionario

Dirichlet: u(a) = α, u(b) = β.
Neumann: u'(a) = α, u'(b) = β.
Robin: -u'(a) + g₀ * u(a) = α, u'(b) + g₁ * u(b) = β.

Cálculo del Orden de Error y Convergencia

La fórmula para el orden de convergencia p es:

p = ln(E_n+1 / E_n+2) / ln(E_n / E_n+1)

Acotación del error

Para métodos iterativos, si ||B|| < 1, el error se acota mediante:

||x^(k) – x|| ≤ [||B|| / (1 – ||B||)] * ||x^(k-1) – x^(k)||

Series de Taylor

Aproximación de la primera derivada f'(a) mediante diferencias centradas:

f'(a) ≈ [f(a+h) – f(a-h)] / 2h

Orden de error p = 2, grado de precisión k = 3 y constante de error C = 1/6.