Verificación de Proposiciones sobre Funciones y Límites
Sección 1: Límites y Comportamiento Asintótico
Proposición: Si la función es del tipo 𝑓(𝑥) = 𝑘/(𝑥−𝑎) + 𝑏, el límite cuando 𝑥 tiende a la asíntota horizontal es infinito.
Respuesta:Falso. El límite no puede tender a la asíntota horizontal porque ese valor está en el eje y. (Es verdadera cuando 𝑥 tiende a la asíntota vertical).
Proposición: En todas las funciones por partes, el límite cuando 𝑥 tiende a infinito es infinito.
Respuesta:Falso. Contraejemplo: cualquier gráfico donde a +infinito tienda a un número y a -infinito a otra cosa, o viceversa.
Proposición: En una función cualquiera, si lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = ∄, siendo 𝑎 un número real, entonces en 𝑎 hay una asíntota vertical.
Respuesta:Falso. Si el límite en un punto no existe, significa que los límites laterales son diferentes. Cuando hay una asíntota vertical, el límite en el punto es infinito.
Proposición: Si el límite de una función en un punto no existe, entonces en ese punto hay una discontinuidad esencial.
Respuesta:Verdadero. Por definición de discontinuidad esencial, si el límite en un punto no existe o es infinito, hay una discontinuidad esencial en ese punto.
Proposición: Si el límite de una función tendiendo a infinito es infinito, entonces la función es continua.
Respuesta:Falso. La continuidad se calcula en un punto; cuando 𝑥 tiende a infinito, estamos evaluando un conjunto de puntos que crecen o decrecen.
Proposición: Si 𝑎 = 5, la función tiene una asíntota vertical en la recta 𝑥=5.
Respuesta:Verdadero. La asíntota vertical ocurre cuando el denominador se hace cero.
Proposición: Si 𝑏 = −3, entonces el Dominio de la función es 𝑅 ≠ −3.
Respuesta:Falso. El valor de 𝑏 afecta la asíntota horizontal, no el dominio. El dominio excluye el valor que anula el denominador.
Proposición: Si la función no tiene raíz, entonces la asíntota horizontal debe ser 𝑦=0.
Respuesta:Falso. No tiene solución directa.
Sección 2: Propiedades de las Funciones Racionales
Proposición: Si una función racional tiene 𝑘 > 0, sus ramas siempre se encuentran en el primer y tercer cuadrante respecto a sus asíntotas.
Respuesta:Verdadero.
Proposición: Si una función racional no tiene raíz ni ordenada al origen, entonces la asíntota vertical es 𝑥 = 0 y la horizontal es 𝑦 = 0.
Respuesta:Verdadero.
Proposición: La función racional donde la AV es 𝑥=2, la AH es 𝑦=-2 y pasa por el punto (0,3) es 𝑓(𝑥) = 2/(𝑥+2).
Respuesta:Falso.
Proposición: Si la función racional tiene las asíntotas iguales, entonces las intersecciones tienen valores diferentes.
Respuesta:Falso.
Proposición: Si la función racional tiene AV en 𝑥=2 y AH en 𝑦=2, no pasa por el punto (2,4).
Respuesta:Verdadero.
Proposición: En las funciones por partes, el límite cuando 𝑥 tiende a un punto no existe.
Respuesta:Falso. Una función definida por partes puede tener límite si los límites laterales coinciden.
Proposición: En una función cualquiera, si lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = ∞, siendo 𝑎 un número real, entonces en 𝑎 hay una asíntota horizontal.
Respuesta:Falso. Si al acercarse a 𝑎 la función tiende a infinito, hay una asíntota vertical, no horizontal.
Proposición: En una función cualquiera, si el Dominio no incluye a un valor de 𝑥, entonces en ese valor no hay límite.
Respuesta:Falso. El límite puede existir aunque la función no esté definida en el punto.
Sección 3: Ejercicios de Aplicación
Si una función racional no tiene ordenada al origen (o.o.), entonces la AV es 𝑥 = 0. Respuesta:Falso. Contraejemplo: 𝑓(𝑥) = 1/(𝑥−3) tiene ordenada al origen en 𝑦=-1/3 y la asíntota vertical es 𝑥=3.
La función racional donde la AV es 𝑥=2, la AH es 𝑦=-2 y pasa por el punto (0,4) es 𝑓(𝑥) = 2/(𝑥+2). Respuesta:Falso. La función dada tiene AV en 𝑥=-2 y AH en 𝑦=0.
La función racional donde la AV es 𝑥=0 y la AH es 𝑦=0 no tiene intersecciones con los ejes. Respuesta:Verdadero. Por definición de asíntotas, las rectas 𝑥=0 y 𝑦=0 excluyen los puntos de coordenadas (0,𝑦) y (𝑥,0).
En una función racional, los puntos que tienen coordenadas iguales a una o ambas asíntotas jamás podrán ser parte de la función. Respuesta:Verdadero. Por definición, las asíntotas son rectas que la función no puede tocar.
En una función racional, si 𝑘 es negativa y tiene asíntotas iguales, entonces pasa por (0,0). Respuesta:Falso.
