Propiedades de un Cuerpo Ordenado de Números Reales
Suma
- Asociatividad: ∀x, y, z ∈ ℝ, se cumple que (x + y) + z = x + (y + z).
- Conmutatividad: ∀x, y ∈ ℝ, se cumple que x + y = y + x.
- Elemento Neutro: ∀x ∈ ℝ, ∃! 0 ∈ ℝ tal que x + 0 = 0 + x = x.
- Elemento Simétrico (Opuesto): ∀x ∈ ℝ, ∃ (-x) ∈ ℝ tal que x + (-x) = (-x) + x = 0.
Producto
- Asociatividad: ∀x, y, z ∈ ℝ, se cumple que (x · y) · z = x · (y · z).
- Conmutatividad: ∀x, y ∈ ℝ, se cumple que x · y = y · x.
- Elemento Neutro: ∀x ∈ ℝ, ∃! 1 ∈ ℝ tal que x · 1 = 1 · x = x.
- Elemento Simétrico (Inverso): ∀x ∈ ℝ*, ∃ x⁻¹ ∈ ℝ tal que x · x⁻¹ = x⁻¹ · x = 1.
Propiedades de Orden de Números Reales
- Transitividad: Si x < y y y < z, entonces x < z.
Demostración: Si x < y, entonces y – x ∈ ℝ⁺. Si y < z, entonces z – y ∈ ℝ⁺. Al sumar, (y – x) + (z – y) = z – x ∈ ℝ⁺, lo que implica x < z.
- Tricotomía: ∀x, y ∈ ℝ, ocurre una y solo una de las alternativas siguientes:
- O bien x = y,
- O bien x < y,
- O bien x > y.
- Monotonía de la Adición: Si x < y, entonces, para todo z ∈ ℝ, se tiene x + z < y + z.
- Monotonía del Producto: Si x < y, entonces:
- Para todo z > 0, se tiene x · z < y · z.
- Para todo z < 0, se tiene x · z > y · z.
Intervalos en la Recta Real
- Se llama intervalo abierto al conjunto ]a, b[ definido como {x ∈ ℝ / a < x < b}, con a < b.
- Se llama intervalo cerrado al conjunto [a, b] definido como {x ∈ ℝ / a ≤ x ≤ b}, con a ≤ b.
- Se llama intervalo semiabierto o semicerrado a ]a, b] = {x ∈ ℝ / a < x ≤ b} o [a, b[ = {x ∈ ℝ / a ≤ x < b}, donde a < b.
Cotas y Extremos de Conjuntos
Cotas
- Se dice que un conjunto A está acotado superiormente si ∃ K ∈ ℝ / K ≥ x, ∀x ∈ A.
- Se dice que un conjunto A está acotado inferiormente si ∃ K’ ∈ ℝ / K’ ≤ x, ∀x ∈ A.
- Un conjunto está acotado si y solamente si está acotado superior e inferiormente.
Extremos
- Se llama extremo superior o supremo de A al valor M que es la menor cota superior de A.
- Se llama extremo inferior o ínfimo de A al valor m que es la mayor cota inferior de A.
Valor Absoluto
Se llama valor absoluto sobre ℝ a la aplicación de ℝ en ℝ⁺, denotada por |x| y definida por:
- Si x ≥ 0 → |x| = x
- Si x < 0 → |x| = -x
Propiedades del Valor Absoluto
- |x| = 0 ↔ x = 0
- |x · y| = |x| · |y|
- |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad Triangular)
- Para todo x ∈ ℝ, se tiene -|x| ≤ x ≤ |x|.
Distancia entre Puntos
Se define la distancia entre dos puntos x, y ∈ ℝ como el valor absoluto de su diferencia: d(x,y) = |x – y|.
Propiedades de la Distancia
- d(x,y) ≥ 0 ∀x, y ∈ ℝ (La distancia entre dos puntos es siempre no negativa).
- d(x,y) = 0 ↔ x = y (La distancia entre dos puntos es nula si y solo si ambos coinciden).
- d(x,y) = d(y,x) (La distancia entre «x» e «y» es la misma que entre «y» y «x»).
- d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) (La distancia entre dos puntos es siempre menor o igual que la suma de las distancias de estos dos puntos a un tercero).
Entorno de un Punto
Se llama entorno abierto centrado en x₀ con radio r, denotado U(x₀, r), al conjunto de números reales x cuya distancia a x₀ es estrictamente menor que el radio r:
U(x₀, r) = {x ∈ ℝ / |x – x₀| < r}
Se llama entorno reducido de x₀, y se escribe U*(x₀) o U*(x₀, r), al conjunto U*(x₀) = U(x₀) – {x₀}, es decir:
U*(x₀) = ]x₀ – r, x₀[ ∪ ]x₀, x₀ + r[ = {x ∈ ℝ / 0 < |x – x₀| < r}
Para un intervalo ]a, b[, el centro y el radio se definen como:
- Centro: x₀ = (a + b) / 2
- Radio: r = |b – a| / 2
Vectores y sus Operaciones
Vectores Ortogonales
Dos vectores u y v son ortogonales si y solo si cumplen la Ley del Paralelogramo: ||u + v|| = ||u – v||.
Producto Escalar de Vectores
El producto escalar (o producto punto) de dos vectores u y v en ℝ² se define como: u · v = ||u|| · ||v|| · cos θ, donde θ es el ángulo entre u y v.
Propiedades Fundamentales del Producto Escalar
- Conmutatividad: u · v = v · u
- Homogeneidad: (r · u) · v = r · (u · v) (para un escalar r)
- Distributividad: u · (v + w) = u · v + u · w
- Positividad: u · u ≥ 0
- Definición Positiva: u · u = 0 ↔ u = 0
Suma de Vectores
Para u = (a, b) y v = (c, d), la suma es: u + v = (a + c, b + d).
El vector opuesto de u = (a, b) es -u = (-a, -b).
Producto de un Vector por un Escalar
∀a, b ∈ ℝ (escalares) y ∀u, v ∈ ℝ² (vectores):
- a(u + v) = au + av
- (a + b)u = au + bu
- a(bu) = (ab)u
- 1u = u
Longitud o Norma de un Vector
La longitud (o norma) de un vector u = (a, b) se denota ||u|| y se calcula como: ||u|| = √(a² + b²).
Propiedades de la Longitud de un Vector
- ||u|| ≥ 0; y ||u|| = 0 ↔ u = 0
- ||r · u|| = |r| · ||u|| (para un escalar r)
- ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v|| (Desigualdad Triangular para vectores)
Ecuaciones de la Recta en ℝ²
Dada una recta que pasa por un punto P₀(x₀, y₀) y tiene un vector director v = (α, β):
- Ecuación Vectorial: (x, y) = (x₀, y₀) + λ(α, β), donde λ ∈ ℝ es un parámetro.
- Ecuaciones Paramétricas:
- x = x₀ + λα
- y = y₀ + λβ
- Ecuación Continua (Cartesiana): (x – x₀) / α = (y – y₀) / β (si α ≠ 0 y β ≠ 0).
- Ecuación General (Implícita): Desarrollando la ecuación continua, se obtiene β(x – x₀) = α(y – y₀), lo que lleva a βx – βx₀ = αy – αy₀, y finalmente a βx – αy – βx₀ + αy₀ = 0. Esta es de la forma Ax + By + C = 0.
- Ecuación Explícita: Despejando y de la ecuación general (si α ≠ 0):
αy = βx – βx₀ + αy₀
y = (β/α)x + (-βx₀ + αy₀)/α
Esta es de la forma y = mx + n, donde m = β/α es la pendiente y n = (-βx₀ + αy₀)/α es la ordenada al origen.
Ángulo entre Vectores
El ángulo θ entre dos vectores u y v en ℝ² se puede encontrar usando la fórmula del producto escalar: u · v = ||u|| ||v|| cos θ.
Funciones
Una función f: D ⊂ ℝ → C ⊂ ℝ es una relación binaria entre dos conjuntos, un dominio D ⊂ ℝ y un codominio C ⊂ ℝ, de manera tal que a cada elemento x del dominio D le corresponde un único elemento y en el codominio C.
En símbolos: f: D ⊂ ℝ → C ⊂ ℝ
∀x ∈ D: ∃!y ∈ C / y = f(x) (Para todo x perteneciente a D, existe un único y perteneciente a C tal que y es la imagen de x a través de la función).
Tipos de Funciones y Propiedades
Función Inversa
Se llama función inversa o recíproca de f a una función f⁻¹ que cumple con que si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.
- No siempre existe, pero si existe es única.
- Para que exista la inversa de f, f tiene que ser biyectiva.
- Las funciones pares no pueden tener inversa porque, por definición, son simétricas con respecto al eje Y y, por lo tanto, no son inyectivas.
Función Par
Una función f es par si para cada elemento x de su dominio, f(x) = f(-x). Son simétricas respecto al eje Y.
Función Impar
Una función f es impar si para cada x de su dominio, f(x) = -f(-x) y tiene una simetría respecto al origen de coordenadas.
Restricción del Dominio
La restricción del dominio de una función significa reducir el dominio de la función para hacer que esta sea inyectiva (para cada valor de x en el dominio restringido, debe corresponder una única imagen).
Función Inyectiva
Una función es inyectiva si a cada elemento del dominio le corresponden imágenes distintas en el codominio.
Función Sobreyectiva
Una función es sobreyectiva si todos los elementos y del codominio tienen al menos una preimagen en el dominio.
Función Biyectiva
Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Función Exponencial
Las funciones exponenciales son biyectivas y continuas en todo su dominio. Se escriben como f(x) = aˣ, con a > 0 y a ≠ 1.
- Si a > 1, la función es creciente.
- Si 0 < a < 1, la función es decreciente.
Función Logarítmica
La función logarítmica tiene por dominio a los reales positivos (ℝ⁺) y por codominio a los reales (ℝ). Es biyectiva y su función inversa es la exponencial.
Operaciones con Funciones
- Suma de Funciones: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- Resta de Funciones: (f – g)(x) = f(x) – g(x)
- Multiplicación de Funciones: (f · g)(x) = f(x) · g(x)
- Composición de Funciones: (f ∘ g)(x) = f[g(x)]
Derivadas: Máximos y Mínimos
Sea f: ℝ → ℝ. Si la primera derivada f'(x₀) = 0, podemos decir que tenemos un extremo relativo (máximo o mínimo) en x₀.
Para caracterizarlo, hallamos la segunda derivada:
- Si f»(x₀) < 0, tenemos un máximo relativo.
- Si f»(x₀) > 0, tenemos un mínimo relativo.
- Si f»(x₀) = 0 y f'(x₀) = 0, x₀ es un posible punto de inflexión (se requiere un análisis adicional, como el signo de la tercera derivada o el cambio de concavidad).
Continuidad de Funciones
Una función real de variable real es continua en un punto a de su dominio si y solamente si se cumplen las tres condiciones siguientes:
- f(a) existe (la función está definida en el punto).
- lim x→a f(x) existe (el límite de la función en el punto existe).
- f(a) = lim x→a f(x) (el valor de la función en el punto es igual al límite).
Ejemplo de Discontinuidad Evitable:
Consideremos la función f(x) definida como:
f(x) = 2x si x ≠ 3
f(x) = 4 si x = 3
Esta función no es continua en x = 3 porque:
- f(3) = 4
- lim x→3 f(x) = 2 · (3) = 6
- f(3) ≠ lim x→3 f(x)
La función posee una discontinuidad evitable en x = 3. Para «salvar» esta discontinuidad y hacer la función continua, se puede redefinir la función en el punto de discontinuidad para que el valor de la función coincida con el límite:
f(x) = 2x si x ≠ 3
f(x) = 6 si x = 3
Cálculo Diferencial
Derivada de una Función en un Punto
Dado f: D ⊂ ℝ → ℝ y un punto x₀ ∈ D, si el siguiente límite existe, se dice que f es derivable en x₀ y se denota f'(x₀):
f'(x₀) = lim h→0 (f(x₀ + h) – f(x₀)) / h
Derivada de una Función Recíproca (1/g)
Para una función f(x) = 1/g(x), donde g: D ⊂ ℝ → ℝ y g(x) ≠ 0, su derivada es:
f'(x) = (0 · g(x) – 1 · g'(x)) / (g(x))² = -g'(x) / (g(x))²
Recta Tangente a una Curva
La recta tangente a la gráfica de una función f en un punto (x₀, f(x₀)) es la recta que pasa por dicho punto y cuya pendiente es la derivada de la función en ese punto, f'(x₀).
Su ecuación vectorial es: (x, y) = (x₀, f(x₀)) + λ(1, f'(x₀)), con λ ∈ ℝ.
Asíntotas de una Función
Una asíntota a la gráfica de una función es una recta a la cual la gráfica de la función se aproxima indefinidamente.
- Asíntota Vertical: Una recta x = a es una asíntota vertical si lim x→a⁺ f(x) = ±∞ o lim x→a⁻ f(x) = ±∞. Si existe una asíntota vertical, la función es discontinua en los valores de x que la anulan (generalmente, los que anulan el denominador de una función racional).
- Asíntota Horizontal: Una recta y = L es una asíntota horizontal si lim x→±∞ f(x) = L.
- Asíntota Oblicua: Una recta y = kx + b es una asíntota oblicua si lim x→±∞ (f(x) – (kx + b)) = 0, donde k = lim x→±∞ f(x)/x y b = lim x→±∞ (f(x) – kx).
Puntos Máximos y Mínimos (Extremos Relativos)
Los puntos máximos o mínimos de una función son los puntos en los cuales la recta tangente a la gráfica de la función es horizontal (es decir, su pendiente se anula).
- Condición Necesaria: Para la existencia de un máximo o mínimo local (o relativo) de una función, es necesario que la primera derivada de dicha función se anule en ese punto: f'(x₀) = 0.
- Condición Suficiente (Criterio de la Segunda Derivada): Si f'(x₀) = 0 y f»(x₀) ≠ 0, se tiene que:
- Si f»(x₀) < 0, entonces hay un máximo local o relativo en x = x₀.
- Si f»(x₀) > 0, entonces hay un mínimo local o relativo en x = x₀.
Función Homográfica
Una función homográfica es aquella definida por la forma f(x) = (ax + b) / (cx + d), donde c ≠ 0 y ad – bc ≠ 0.
Su dominio es D = ℝ \ {-d/c}, ya que el denominador cx + d no puede ser cero (es decir, x ≠ -d/c).