Ejercicios Resueltos de Estadística Aplicada: Vigor Vegetal, Distribuciones y Pruebas de Hipótesis

Entrada publicada en Matemáticas y etiquetada Coeficiente de Variación distribución exponencial distribución uniforme estadística Estadística Aplicada NDVI Pruebas de Hipótesis el por .

Comparación de métodos (NDVI) MEDIA/ COEF Variación

Dos mÉtodos de medición de vigor (NDVI)
Sobre 10 parcelas:
Método A (Dron): 0,57, 0,61, 0,60, 0,62, 0,59, 0,63, 0,58, 0,60, 0,61, 0,62
Método B (Sensor): 0,54, 0,68, 0,60, 0,66, 0,52, 0,72, 0,59, 0,65, 0,55, 0,70
Para cada método, calcule (media)
Y (desviación estándar poblacional); luego decida cual es mas homogéneo (menor variabilidad relativa).

RESPUESTA

Suma:
0.57 + 0.61 + 0.60 + 0.62 + 0.59 + 0.63 + 0.58 + 0.60 + 0.61 + 0.62 = 6.03 / 10 = μ  0.603 

Varianza: (0.57 − 0.62)+ (0.61-0.60.60 − 0.62) + (0.62 − 0.62)……../10 (suma de todo al cuadrado y se / 10) y la varianza (0.000321)

Desviación estándar poblacional (σA=√0.000321=0.0179164729)

Coeficiente de variación

CVA=0.0179164729/0.603=0.0297123 → 2.97 % 

Lo mismo método B

 Mayor >

menor <


Se registr´o el peso (kg) de 100 mazorcas:
Mdc  Intervalo (kg) Frecuencia (fi) Frec. Ac
  0.2    0,15 – 0,25             10              10
 0.3     0,25 – 0,35             25              35
 0.4     0,35 – 0,45             30              65
 0.5       0,45 – 0,55             20              85
 0.6     0,55 – 0,65             15             100
Marca de clase suma de inter/2

Calcule media, mediana y moda.

Media:
(FRE x Mdc)+(fre x Mds)…../total frecu. Resultado/100
Mediana;
 

MODA: 

Estime P25 y P75 y determine el RIC.


Sea X la temperatura del aire al mediodía en el invernadero, con X ∼ U[18, 22]. La densidad de una uniforme continua en [a, b] es Con a = 18 y b = 22:

2) P(X = 20,0)
Para variables continuas, P(X = c) = 0 para cualquier c. Por tanto, P(X = 20,0) = 0.
3) P(18,5 ≤ X ≤ 20,0)
En una uniforme:
P(18,5 ≤ X ≤ 20,0) = 20,0 − 18,5 / 22-18 = 1.5/4 = 0,375.
4) P(X > 21,0)
= 22 − 21,0 / 22 − 18 =1/ 4 = 0,25.
Sea X el pH de la solución nutritiva en un sistema hidropónico, con X ∼ U[4, 5].
1) Función de densidad  Con a = 4 y b = 5:
2) P(X = 4,5)  = 0.
3) P(4,2 ≤ X ≤ 4,7) = 4,7 − 4,2/5 − 4 = 0,5/1=0.5
4) P(X < 4,3) =  4,3 − 4,0 / 5 − 4 = 0,3/ 1 = 0,3.
Para una distribución uniforme en [a, b], la densidad es constante:
f(x) = 1/ b − a , a ≤ x ≤ b.
Aquí a = 180, b = 220
f(x) = 1 / 220 − 180 = 1/ 40 = 0,025.
a) base = 210 − 190 = 20, altura = 0,025.   
P(190 ≤ X ≤ 210) = 20 × 0,025 = 0,50
b) base = 220 − 200 = 20, altura = 0,025.
P(X > 200) = 20 × 0,025 = 0,50.

Distribución exponencial


Sea X ∼ Exp(β = 4).

A) P(X < 3)


= F(3) = 1 − e−3/4 ≈ 1 − e−0,75 ≈ 1 − 0,4724 ≈ 0,528.

B)P(X > 6)


= 1 − F(6) = e−6/4 = e−1,5 ≈ 0,223.

C) P(2 < X < 5)


= F(5) − F(2) = (1 − e−5/4) –  (1 − e−2/4) = e−2/4 − e−5/4.
Numéricamente:
e−2/4 ≈ e−0,5 ≈ 0,607
e−5/4 ≈ e−1,25 ≈ 0,287,
P(2 < X < 5) ≈ 0,607 − 0,287 = 0,320.


Densidad continua f(x) = k x en 0 < x < 1

Determinar k, para que f sea valida:


f01 kx dx = k (x 2 /2 ) 10 = k / 2 = 1 ⇒ k = 2

Función de distribución acumulada


  F(x) =(01fx0 2t dt = x 2 ;  0 < x ; 0<x< 1;  x ≥ 1

Probabilidades:

(a) P(X ≤ 0,70)
= F(0,70)2 = 0,49.

(b) P(0,30 ≤ X ≤ 0,75)
= F(0,75) 2− F(0,30)2 = 0,5625 − 0,09 = 0,4725.

(c) P(X < 0)
= 0.

(d) P(0 < X < 1)
= 1

(e) P(X ≥ 0,80)
= 1 − F(0,80)2 = 1 − 0,64 = 0,36

Distribuciones discretas, esperanza y varianza

Valores posibles x ∈ {0, 50, 100, 200} (en miles de pesos).

Negocio A Frecuencias (4, 2, 4, 10) = 20 lo cual ejemplo: 4/20…..10/20 ⇒ pA = (0,20, 0,10, 0,20, 0,50). 

Distribución E[X]A = (valor posible x pA) + (valor pos x pA)……  = suma de los resultados = resultado

Valor esperado E[X 2 ]A = (valor posible 2 x pA) + (valor posible 2 x pA )………= suma de los resultados = resultados 

Var(X)A = E[X 2 ]A − (E[X]A)2 = resultado


Hipótesis Queremos probar si el contenido medio de nitratos supera los 5 mg/L.
Hipótesis: H0 : μ = 5 (o μ ≤ 5),         HA : μ > 5.
Datos: n = 70 pozos       x = 7,14       σ2 = 19,12.

Desviación estándar:


σ = √19,12 ≈ 4,372.

Estadístico de prueba:


Z = x − μ0/ σ/√n = 7,14 − 5 / √19,12/70 ≈ 2,14/ 0,522 ≈ 4,09.

Regla de decisión (α = 0,05, cola derecha):


Rechazar H0 si Z > 1,645.

Como Z ≈ 4,09 > 1,645, se rechaza H0


Conclusión: La evidencia estad´ıstica indica que el contenido medio de nitratos en los pozos de riego supera los 5 mg/L.
Queremos probar si la CE media es inferior a 1.5 dS/m.
Hipótesis:  H0 : μ ≥ 1,5              H1 : μ < 1,5.
Datos: n = 64,        x = 1,35         σ2 = 0,25 ⇒ desviacion estándar √0.25 = σ = 0,5.

Estadístico de prueba:


Z = x − μ0 /   σ/√n = 1,35 − 1,5/ 0.5/√64  = −0,15 / 0,5/8=  −0,15 / 0,0625 = −2,4.

Región critica (cola izquierda, α = 0,05):


Rechazar H0 si Z < −1,645 (lo da el profe el valor critico)

Como Z = −2,4 < −1,645, se rechaza H0


Conclusión: Hay evidencia estad´ıstica para afirmar que la conductividad el´ectrica media del agua es inferior a 1.5 dS/m.

Prueba t para muestras pareadas con diferencias D = C − D


Hipótesis: H0 : μD = 0 (no hay diferencia de rendimiento), H1 : μD ̸= 0.
A partir del resumen de InfoStat: D = 0,18, t = 1,21, gl = 6, p-valor = 0,2680.
Con α = 0,05, como p-valor = 0,2680 > 0,05, no se rechaza H0.

Prueba t para muestras pareadas con diferencias D = A − B


Hipótesis: H0 : μD = 0 (no hay diferencia de rendimiento), HA : μD ̸= 0.
Resumen de InfoStat: D = 0,44, t = 4,91, gl = 6, p-valor = 0,0027. (lo da el profe)
Como p-valor < 0,05, se rechaza H0.
Conclusión: Existe evidencia estadıstica para afirmar que los rendimientos promedio difieren
entre el manejo A y el manejo B.

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