Conceptos Fundamentales de Ondas y Oscilaciones
Concepto de Onda
La propagación no puede ser instantánea, pues se trata de una sucesión continua o discreta de perturbaciones entre las cuales ha de transcurrir un cierto tiempo, aunque sea ínfimo. Las diferencias de tiempo entre oscilaciones es el retardo.
La onda será una función de la distancia en según qué dirección (esto es, del vector de posición $\mathbf{r}$ y del tiempo $t$): $u = u(\mathbf{r}, t)$.
Oscilación
Si se prescinde de la propagación y nos quedamos con el tiempo, obtenemos una oscilación. La oscilación es un tono puro si la variación con el tiempo es sinusoidal.
Si el medio de propagación es lineal, se cumple el principio de superposición y conociendo el comportamiento de la sinusoide conocemos el comportamiento de una sinusoide. En el instante de tiempo $t$, el ángulo será el ángulo inicial más el ángulo recorrido desde el momento inicial:
$$u = A \cdot \cos(\omega t + \phi)$$
- A = Amplitud: Establece el valor máximo que puede adoptar la oscilación en términos absolutos.
- $\omega$ = Frecuencia angular: Se mide en radianes por segundo, o bien pulsación.
- $\phi$ = Fase: Determina en qué lugar del ciclo se encuentra.
Parámetros de la Oscilación
- Frecuencia ($\nu$): Ligada con la frecuencia angular, se mide en Hz ($\omega = 2\pi\nu$).
- Periodo (T): Es el tiempo que dura cada ciclo ($T = 1/\nu$).
- Número de onda (k): Nos determina la evolución lineal de la fase con la distancia ($k = \omega/c = 2\pi / \lambda$).
- Longitud de onda ($\lambda$): Es la distancia entre dos puntos consecutivos de la onda que oscilan con la misma fase ($\lambda = c/\nu$).
Naturaleza de la Luz y Camino Óptico
Ondas
Onda = Oscilación que se propaga. La fórmula de onda es $u(z,t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi(z))$, donde $z$ es el espacio y $t$ es el tiempo. Si el medio es homogéneo, $u(z,t) = A \cdot \cos(\omega t – kz)$.
Naturaleza de la Luz
El índice de refracción $n$ de un medio es la relación entre la velocidad de la luz en el espacio libre $c_0$ y la velocidad en dicho medio $c$ ($n = c_0/c$).
Naturaleza Corpuscular de la Luz
El fotón es una partícula que no tiene masa, pero transporta energía electromagnética y momento.
- La energía de un fotón es $E = h\nu = \hbar\omega$. ($h$ es la constante de Planck, $\hbar = h/2\pi$).
- El momento o impulsión del fotón es $p = h/\lambda = \hbar k$.
Longitud del Camino Óptico (LCO)
Es la longitud que recorrería la luz en el vacío durante el tiempo que tarda en ir desde el punto inicial hasta el final.
- LCO (medio homogéneo) = $n$ (constante) $\cdot$ distancia.
- LCO (medio no homogéneo) = $\int_{A}^{B} n(\mathbf{r}) ds$.
Principios de la Óptica Geométrica
Principio de Fermat
La longitud del camino óptico seguido por la luz entre dos puntos es un extremo relativo respecto a los caminos vecinos. Se cumple que la derivada de la longitud del camino óptico respecto a los caminos adyacentes es nula.
Ley de Reflexión
El rayo reflejado por una superficie estará contenido en el plano definido por el rayo incidente y la normal a la superficie en el punto de incidencia (plano de incidencia), siendo el ángulo entre el rayo reflejado y la normal igual al ángulo entre el rayo incidente con dicha normal ($i = r$).
Ley de Refracción (Snell)
El rayo refractado se encontrará en el mismo plano que el definido por el rayo incidente y la normal, siendo la relación entre los senos de los ángulos de incidencia $i$ y de refracción $t$ inversamente proporcional a la relación de los índices de refracción.
$$n_1 \cdot d_1 = n_2 \cdot d_2 \rightarrow n_1 \cdot a \cdot \sin i = n_2 \cdot a \cdot \sin t \rightarrow n_1 \cdot \sin i = n_2 \cdot \sin t$$
Ángulo Límite
Caso de refracción en el que el segundo medio es de un índice de refracción inferior al del primero ($n_1 > n_2$). En ese caso, el ángulo de incidencia puede ser lo suficientemente grande como para que no tenga solución el ángulo de refracción.
$$i_L = \arcsen(n_2/n_1)$$
Componentes Ópticos Planos y Espejos
Componentes Planos
Diedro
Formado por dos espejos planos no paralelos y, por tanto, tienen una arista común (diedro recto, arista de 90 grados). Un rayo que incide sobre uno de los espejos sale del diedro siempre en un rayo paralelo al incidente.
Triedro
Tres espejos que interseccionan no siendo paralelos, se forman tres aristas. Si el triedro es rectangular siempre devuelve un rayo paralelo al incidente. Cuanto más pequeño es un triedro, más próximo será el rayo reflejado paralelo al rayo incidente, pero también, menor probabilidad habrá de que la radiación incida sobre el triedro. Un panel de triedros (cóncavos) asegura el retorno, sin tener que preocuparse por la orientación. Son muy útiles en las señales de tráfico, detectores de paso de las puertas de ascensores o de barrera de vehículos.
Semiespejo
Transmite la luz en un sentido, pero la refleja en el otro.
Filtro Paso Banda
Permiten la transmisión de una cierta banda de longitudes de onda, mientras que el resto quedan absorbidas por el filtro.
Splitter
Divide el haz en dos partes de igual intensidad, o bien, en una determinada proporción.
Dicroico
Divide el espectro óptico en dos partes a partir de una determinada banda.
Espejos Basados en Cónicas
Cónicas (Ecuación Polar)
$$P(\rho, \phi) = \frac{P}{1 \pm e \cos \phi}$$
- Si $e = 0 \rightarrow$ Circunferencia.
- Si $e < 1 \rightarrow$ Elipse.
- Si $e = 1 \rightarrow$ Parábola.
- Si $e > 1 \rightarrow$ Hipérbola.
Solución de Fermat
El camino óptico desde el foco a cualquier punto de un plano perpendicular al eje de la parábola tiene la misma distancia hasta la directriz.
Espejos Parabólicos o Esféricos
Si es cóncavo, tiene la propiedad de concentrar en su foco todos los rayos que inciden en él paralelos a su eje o, a la inversa, todos los rayos procedentes del foco saldrán reflejados en el paraboloide en dirección paralela al eje. Se suele trabajar en condiciones paraxiales, en las que los ángulos que formen los rayos con el eje sean pequeños, de forma que se pueda aproximar seno a arcoseno.
$$\frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} = \frac{2}{R} = \frac{1}{f}$$
Aplicación: Antenas parabólicas.
Espejos Elípticos
En los espejos de la familia de las cónicas, la reflexión de la radiación que procede de uno de los focos se concentra en el otro foco. Si uno de los focos se encuentra en el infinito (excentricidad = 1), los rayos paralelos al eje son los que se concentran en ese foco infinitamente lejano. Si el foco derecho no absorbiera la radiación, sino que esta continuara su curso, toda la radiación que se concentra en el foco derecho retornaría al izquierdo y así sucesivamente. Aplicación: Láseres.
Espejos Hiperbólicos
Cualquier emisión procedente de uno de los focos se dirige exactamente al otro foco. La convergencia en una hipérbola es virtual, ya que lo que converge es la prolongación de los rayos reales, por la naturaleza misma de la hipérbola, que tiene dos ramas entre los dos focos. Aplicación: Telescopios Cassegrain.
Componentes de Refracción y Lentes
Prisma Óptico
Es muy sencillo, sus caras son planas. El ángulo entre caras es $\alpha$. Si el ángulo $\alpha$ fuera nulo, estaríamos hablando de una placa de caras paralelas, en cuyo caso la desviación es nula.
Prisma de Reflexión
Se basa en utilizar la cara interior de un prisma en reflexión, en lugar de refracción, sobrepasando el ángulo límite.
Dispersión Cromática
Es la variación del índice de refracción de un medio óptico con la longitud de onda. La dispersión cromática produce efectos no deseados en lentes e instrumentos ópticos en general. Se puede emplear para distinguir materiales en función de su longitud de onda.
Dióptro Esférico
Produce refracción de los rayos luminosos al pasar de un medio homogéneo a otro de distinto índice de refracción. La unión entre rayos se produce en el dióptro esférico.
Lentes Esféricas
Pieza de índice de refracción uniforme, limitada por dos superficies esféricas. Las lentes pueden ser delgadas, haciendo posible la aproximación paraxial y que se pueda despreciar el grosor.
$$\frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} = \frac{n_2 – n_1}{n_1} \cdot \left( \frac{1}{R_1} – \frac{1}{R_2} \right)$$
Todos los rayos incidentes paralelos al eje ($z_1 \rightarrow \infty$) se concentrarán en un punto del eje a una distancia $f$ del plano de la lente. Toda la luz procedente de un punto $z_1 = f$ saldrá de la lente en rayos paralelos al eje ($z_2 \rightarrow \infty$).
$$\frac{h_2}{h_1} = -\frac{d_2}{d_1}$$
Instrumentos Ópticos
Microscopio
Combinación de una lente del objetivo con otra cuyo plano focal se encuentre en el plano objeto de la primera, produciéndose una alta potencia de magnificación.
Telescopio de Refracción
Dos lentes colocadas a una distancia tal que se haga coincidir sus planos focales.
Prisma de Dove
Produce la inversión de la imagen que compensa la inversión causada por el sistema de lentes y de prismas rectos de reflexión.
Telescopio de Reflexión
- Consiste en un reflector parabólico en cuyo foco se coloca un visor tal que el ojo pueda percibir la imagen.
- El telescopio de Cassegrain: Consiste en la combinación de un reflector parabólico como el del telescopio de Newton, pero combinado con un subreflector hiperbólico con uno de sus focos coincidentes con el de la parábola.
Componentes de Índice Gradual (GRIN)
Se basan en medios no homogéneos, generalmente continuos, es decir, tal que el gradiente del índice de refracción $n(\mathbf{r})$ existe y es finito.
Lente GRIN
Una placa GRIN cilíndrica con distribución parabólica radial hace que la trayectoria de cualquier rayo que llega a la placa paralelo al eje, converge en un punto del mismo (foco de la lente).
Óptica Ondulatoria y Fenómenos de Interferencia
Onda Monocromática
Aquella que tiene una frecuencia única y bien definida. Tiene una dependencia armónica con el tiempo y puede expresarse mediante una función real de la siguiente forma: $u(\mathbf{r},t) = a(\mathbf{r})\cos(\omega t + \phi(\mathbf{r}))$.
Óptica de Ondas
$u = u(\mathbf{r}, t)$, siendo $\mathbf{r} = x\mathbf{u}_x + y\mathbf{u}_y + z\mathbf{u}_z$. Una onda sin pérdidas ha de cumplir la siguiente ecuación, denominada ecuación de onda:
$$\nabla^2 u – \frac{1}{c^2} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} \right) = 0$$
La Intensidad óptica es $I(\mathbf{r}, t) = |u(\mathbf{r}, t)|^2$. La Potencia es $P(t) = \int_A I(\mathbf{r}, t) dA$.
Números Complejos en Óptica
Número Complejo (c)
$c = a + b j$
Forma Binómica
$\text{Re}[c] = a$, $\text{Im}[c] = b$.
- Suma: $c_1 + c_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) j$.
- Multiplicación: $c_1 \cdot c_2 = (a_1 a_2 – b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1) j$.
Forma Módulo-Argumento
$c = A \angle \phi$, donde $A = \sqrt{a^2 + b^2}$ y $\phi = \arctan(b/a)$.
- Multiplicación: $c_1 \cdot c_2 = A_1 A_2 \angle (\phi_1 + \phi_2)$.
Forma Trigonométrica
$c = a + j b$, donde $a = A \cos \phi$ y $b = A \sin \phi$, y $\phi = \arccos(a/A) = \arcsin(b/A)$.
Forma Exponencial
$c = A e^{j \phi}$, donde $e^{j \phi} = \cos(\phi)$ (parte real) $+ j \sin(\phi)$ (parte imaginaria).
Conjugados
- Si $C = a + b j \rightarrow C^* = a – b j$.
- Si $C = A e^{j \phi} \rightarrow C^* = A e^{-j \phi}$.
Ejemplo de Casos sin Solución
Arco cuyo coseno es $> 1$, Logaritmo de un número negativo.
Frentes de Onda
Superficies cuyos puntos tienen todos la misma fase ($\phi(\mathbf{r}) = \text{cte}$).
Onda Plana
$U(\mathbf{r}) = A e^{-j \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}$. $\mathbf{k}$ es el vector de onda que apunta a la dirección de propagación: $\mathbf{k} = k_x \mathbf{u}_x + k_y \mathbf{u}_y + k_z \mathbf{u}_z$. Una onda con este formato tiene los frentes de onda planos, ya que si la fase es el producto escalar $\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}$, este se mantendrá constante para todos los puntos de un plano perpendicular a la dirección del vector $\mathbf{k}$.
Onda Esférica
Para que los frentes de onda sean esféricos, la condición es que la fase sea constante si el radio se mantiene también constante. Siempre que el medio sea homogéneo, de forma que el número de onda sea asimismo constante:
$$U(R) = \frac{A}{r} e^{-j k r}$$
La intensidad óptica de la onda es: $I(\mathbf{r}) = |U(\mathbf{r})|^2 = A^2/r^2$. Disminuye en relación con el cuadrado de la distancia, ya que la energía ha de repartirse uniformemente por toda la superficie esférica de los frentes de onda.
Interferencia de Dos Ondas Monocromáticas
Ambas ondas interfieren entre sí, siendo el resultado de dicha interferencia la superposición (suma) de ambas ondas.
$$I(\mathbf{r}) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$$
Interferómetro
Instrumento que emplea la interferencia entre dos haces de luz para medir con gran precisión diferentes parámetros. Divide mediante splitters en dos partes una misma onda monocromática. Ambas se hacen coincidir en fase al final del recorrido. De esta forma, si se mide la intensidad de la salida, se puede conocer cómo interfieren.
Onda Estacionaria
Se produce cuando dos ondas de igual frecuencia y con los frentes de onda de la misma forma se propagan en sentido opuesto y se superponen. La amplitud de la oscilación se mantiene constante en cada punto del espacio, pero dicha amplitud tiene una variación periódica con la distancia.
Difracción y Componentes Asociados
Difracción
Fenómeno que se produce cuando un objeto que se interpone al paso de la luz no dibuja nítidamente sus bordes al proyectar la luz sobre una pantalla.
Resonancia de Bragg
Se produce cuando existe reflexión en un material compuesto por una serie de capas, cada una de las cuales es capaz de reflejar parcialmente la luz incidente. En tal situación existe un ángulo $\theta$ de inclinación de la luz monocromática incidente, para el cual la radiación reflejada es máxima. Esto se debe a que las reflexiones de todas las capas coinciden en fase.
Rejillas de Difracción
Componentes empleados para conseguir una distribución mucho más próxima a la sinusoidal pura. Consisten en una placa transparente en la que una de sus superficies tiene una variación periódica sinusoidal.
Rejilla GRIN
Consisten en una placa transparente en la que el índice de refracción varía de forma periódica. En ambos casos se consigue que la luz que atraviesa este dispositivo salga del mismo con una fase modulada según la frecuencia espacial determinada por la rejilla.
Monocromador
Instrumento cuyo elemento central es una rejilla de difracción. El haz de luz (A) pasa por una rendija (B) y mediante un espejo parabólico (C), se proyecta sobre una rejilla de difracción de reflexión basculante (D), la cual descompone la luz en todo un rango de longitudes de onda. Otro espejo parabólico (E) enfoca sobre la rendija de salida (F), a través de la cual se observa la intensidad (G). Dependiendo de la orientación que se le dé a la rejilla, la luz de salida pertenecerá a una u otra longitud de onda.
Filtros
Un filtro paso alto bloquea el paso de las frecuencias bajas mediante un círculo opaco.
Colorimetría y Holografía
Color
Sensación óptica que percibimos según el contenido en frecuencia de la luz. El color de un tono puro (monocromático) viene determinado por la frecuencia de la radiación, o bien por su longitud de onda.
Metamerismo
Efecto por el cual una sensación cromática puede ser similar al percibir una mezcla de colores puros, o bien al percibir un espectro continuo determinado, u otra mezcla de colores diferentes.
Tonos Secundarios
Aquellos que se forman por la mezcla de dos colores primarios a partes iguales.
Tonos Terciarios
Aquellos que se sintetizan mediante la mezcla de un tono primario y otro secundario a partes iguales.
Tono
Es el matiz del color. Supone su cualidad cromática. Relacionado con la longitud de onda o longitudes de onda de su radiación.
Saturación
Relacionada con la intensidad cromática o calidad de un tono. Cuando un color pierde saturación, su espectro se acerca más al gris, es decir, se hace más plano y sus componentes espectrales se concentran más en la parte de intensidad media. La pérdida de saturación se produce al mezclar un color con su complementario en una cierta proporción.
Brillo o Luminosidad
Tiene que ver con la intensidad o el nivel de energía. Es la capacidad de reflejar el blanco que tiene un color. Alude a la claridad u oscuridad de un tono. La luminosidad se hace variar añadiendo negro o blanco a un tono.
RGB (Aditivo)
La mezcla de colores luz, normalmente rojo, verde y azul, se realiza utilizando el sistema de color aditivo (si se mezclan en distintos tantos por ciento, forman otros colores y si lo hacen en cantidades iguales producen la luz blanca).
CMY (Sustractivo)
Cian, magenta y amarillo, primarios sustractivos (la separación de colores se realiza utilizando filtros para restar luz de los primarios aditivos, con lo que se obtienen los colores de impresión por proceso sustractivo).
Holografía
Holografía
Técnica fotográfica que permite grabar y reproducir imágenes tridimensionales, lo que involucra la grabación y reconstrucción de ondas ópticas. Para ello es necesario almacenar información de la intensidad óptica que tenemos en cada punto de la imagen y su fase. La interferencia nos da información acerca de la fase de onda.
Diagrama de Formación de Holograma (Prisma de Dove)
Tanto la iluminación del objeto como la onda de referencia proceden de un mismo haz de luz coherente, asegurándose así que tienen la misma frecuencia y polarización. Un splitter divide el haz de la fuente en dos partes. Uno servirá de referencia y se proyecta por medio de un prisma de Dove sobre la placa fotosensible, capturando así el holograma. La otra parte en la que se ha dividido el haz sirve para iluminar los objetos tridimensionales de la imagen, cuya emisión quedará grabada en la placa fotosensible en conjunto con la onda de referencia.
Reproducción de Imagen a Partir de Holograma
Consiste en hacer incidir sobre la placa holográfica una onda exactamente igual y en las mismas condiciones que la onda de referencia que se utilizó para la grabación. La onda de referencia se modula al llegar a la placa de acuerdo con la transmitancia de esta, que no es otra cosa que el holograma. Como la onda de referencia se genera de la misma forma en la reproducción que en la grabación, se encuentra en la misma fase y, al modularla, se genera la imagen virtual.
Holografía de Volumen y Holografía de Luz Blanca
La onda de referencia llega perpendicular a la placa de volumen, mientras que la onda plana procedente del objeto llega oblicua. La placa se impresionará en función de la intensidad de la iluminación y el tiempo de exposición. En el entramado de frentes de onda que existe en el interior de la placa, vemos que ambas ondas coinciden en fase. Una vez se ha grabado un holograma, la placa ha quedado convertida en una rejilla de Bragg, lo que significa que cuando se le da una onda igual a la que ha servido de referencia en la grabación, la dirección de la difracción de Bragg coincide con la onda objeto que fue grabada, con lo que el objeto queda reproducido. La ventaja de esta reproducción es que si en lugar de la onda de referencia se emplea luz blanca, la reproducción tiene lugar de todas formas, y por esto se le denomina holografía de luz blanca.
Holografía de Arco Iris (Holografía de Benton)
Puede ser visualizada con luz blanca. Consiste en grabar el objeto junto a la onda de referencia, pero visto a través de una rendija estrecha y enfocado mediante una lente. Si la rendija es horizontal, cada franja horizontal del objeto habrá sido vista desde un ángulo diferente. Al iluminar el holograma grabado con la luz de referencia, cada una de las franjas horizontales del mismo proyectará la luz con el ángulo correspondiente al ángulo desde el que fue vista. Si se ilumina con una onda cuya longitud de onda fuera diferente, la imagen se formaría igual, pero se vería desde ángulos diferentes. Sin embargo, si se ilumina con luz blanca, la cual por naturaleza contiene todas las longitudes de onda visibles, la imagen se visualizará desde cualquier ángulo, pero cada una de las franjas tendrá un color diferente, y este color variará según el ángulo desde el que se mire.