Proporcionalidad y Magnitudes
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando los productos de las cantidades correspondientes son constantes; es decir, si al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción.
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando los cocientes de las cantidades correspondientes son constantes. Esto ocurre cuando, al multiplicar una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada por el mismo número. A más cantidad de la primera magnitud, corresponde más cantidad en la segunda magnitud, en la misma proporción.
Se denomina proporcionalidad compuesta a aquellas situaciones en las que intervienen más de dos magnitudes ligadas por la relación de proporcionalidad.
Repartos Proporcionales
Repartos inversamente proporcionales
Para repartir una cantidad N de forma inversamente proporcional a a, b, c, …, se reparte esa misma cantidad de forma directamente proporcional a sus inversos, es decir, a los números 1/a, 1/b, 1/c…
Repartos directamente proporcionales
Para repartir una cantidad N de forma directamente proporcional a a, b, c, …, se realizan los siguientes pasos:
- 1º Se calcula la razón de proporcionalidad: r = N / (a + b + c + …)
- 2º Se multiplica cada parte a, b, c, …, por r:
- a · r = a’
- b · r = b’
- c · r = c’
Regla de los Signos
- Más por menos = Menos (+ · – = -)
- Menos por más = Menos (- · + = -)
- Más por más = Más (+ · + = +)
- Menos por menos = Más (- · – = +)
Lenguaje Algebraico
El lenguaje algebraico permite expresar relaciones matemáticas mediante letras y números:
- La suma de dos números: x + y
- La diferencia de dos números: x – y
- El cociente de dos números: x / y
- El doble de un número: 2x
- El triple de un número: 3x
- La mitad de un número: x / 2
- La cuarta parte de un número: x / 4
- El cuadrado de un número: x²
- Un número par: 2x (ejemplos: 2, 4, 6…)
- Un número impar: 2x + 1
- Dos números consecutivos: x, x + 1, x + 2…
- Un número aumentado en 4: x + 4
- Un número disminuido en 2: x – 2
- El doble de la suma de dos números: 2(x + y)
- El triple de la cuarta parte de un número: 3 · (x / 4)
- Mi edad dentro de 2 años: x + 2
- Mi edad hace dos años: x – 2
Operaciones y Comprobaciones
Cómo comprobar una proporción
Para comprobar si una razón forma una proporción (a/b y c/d), se dividen los términos: a ÷ b y c ÷ d deben dar el mismo resultado.
- Comprobación en cruz: Se multiplica a · d y b · c. Si son iguales, es una proporción.
- Si faltan dos números (proporción media): Ejemplo 12/x = x/3. Se calcula 12 · 3 = x²; por lo tanto, x = ±√36, obteniendo resultados positivo y negativo.
Magnitudes y Reglas de Tres
- Magnitudes directamente proporcionales: Se utiliza la regla de tres en cruz. En repartos directamente proporcionales, se divide el total por la suma de las partes (a + b + c…).
- Magnitudes inversamente proporcionales: Se divide a entre b y c entre d. Para repartos inversamente proporcionales, se utiliza el total partido por la suma de las fracciones inversas (1/a, 1/b…).
- Proporcionalidad compuesta: Se resuelve aplicando la directa en cruz y, si hay una inversa, se invierte (gira) la fracción correspondiente.
Monomios y Polinomios
Monomios
- Suma y resta: Solo se pueden sumar o restar si tienen la misma parte literal.
- Producto de un número por un monomio: Se multiplica el número por el coeficiente.
- Multiplicación de monomios: Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las letras.
- Potencias de un monomio: Se eleva el coeficiente y se multiplican los exponentes por el valor de la potencia.
- División de monomios: Se expresan como fracción, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes.
Polinomios
- Suma y resta: Solo se operan los términos con la misma parte literal.
- Producto o multiplicación: Se multiplican todos los términos entre sí. Si un polinomio tiene menos términos, este multiplica a cada uno de los términos del otro paréntesis.
- División: Se dividen todos los términos correspondientes.
- Ordenar polinomios: Se operan los términos semejantes y se ordenan según el grado de la x de mayor a menor.
- Extraer factor común: Se buscan los números o las x comunes y se extraen, restando un grado a los exponentes de los términos interiores.
Identidades Notables
- Cuadrado de una suma: (a + b)² = a² + b² + 2ab
- Cuadrado de una diferencia: (a – b)² = a² + b² – 2ab
- Suma por diferencia: (a + b)(a – b) = a² – b²
Ecuaciones
Resolución de Ecuaciones de Primer Grado
- Quitar paréntesis: Se multiplican los números de fuera por los de dentro.
- Quitar fracciones: Se calcula el m.c.m. (mínimo común múltiplo), se divide el m.c.m. por el denominador y el resultado se multiplica por el numerador.
Ecuaciones de Segundo Grado
- Completas: Tienen la forma ax² + bx + c = 0. Se resuelven con la fórmula: x = [-b ± √(b² – 4ac)] / 2a.
- Incompletas: Se pueden resolver mediante la raíz cuadrada de -c/a o extrayendo factor común según el caso.
Sistemas de Ecuaciones Lineales
- Método Gráfico: Se crea una tabla de valores para x e y en ambas ecuaciones y se representan. Si son paralelas, no hay solución; si coinciden, hay infinitas; si se cortan, hay una solución única.
- Método de Sustitución: Se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye su valor en la otra.
- Método de Igualación: Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones y se igualan las expresiones resultantes.
- Método de Reducción: Se multiplican las ecuaciones para que al sumar o restar se elimine una incógnita.