Problema 1: Comparación de Varianzas de Hilos
Un fabricante afirma que la varianza de la resistencia a la tensión del hilo A es menor a la varianza de la resistencia a la tensión del hilo B. Para probar esta afirmación se pusieron a prueba 50 pedazos de cada tipo de hilo en condiciones similares. El hilo tipo A tuvo una resistencia promedio a la tensión de 86.7 kilogramos con una desviación estándar de 6.28 kilogramos; mientras que el hilo tipo B tuvo una resistencia promedio a la tensión de 77.8 kilogramos con una desviación estándar de 5.61 kilogramos.
Pruebe la afirmación del fabricante usando un nivel de significancia de 0.05.
Seleccione una opción:
- a. Se rechaza H₀, se tiene evidencia estadística de que la varianza 2 es menor que la varianza 1
- b. Se rechaza H₀, se tiene evidencia estadística de que la varianza 1 es menor que la varianza 2
- c. No se puede rechazar H₀, se tiene evidencia estadística de que la varianza 2 es mayor o igual que la varianza 1
- d. No se puede rechazar H₀, se tiene evidencia estadística de que la varianza 1 es mayor o igual que la varianza 2
Problema 2: Prueba de Hipótesis sobre la Media (Aspiradoras)
Paso 1: Definición de Hipótesis
- Hipótesis Nula (H₀): μ ≥ 46 (las aspiradoras gastan 46 kWh o más al año).
- Hipótesis Alternativa (H₁): μ < 46 (las aspiradoras gastan menos de 46 kWh al año).
Dado que la pregunta es si el consumo es menor a 46, realizamos una prueba de una cola a la izquierda.
Paso 2: Cálculo del Estadístico de Prueba
Se usa el estadístico:
t = (x̄ – μ₀) / (s / √n)
donde:
- x̄ = 42 (media muestral)
- μ₀ = 46 (media poblacional propuesta en H₀)
- s = 11.9 (desviación estándar muestral)
- n = 12 (tamaño de la muestra)
Sustitución de valores:
El valor del estadístico de prueba t es aproximadamente -1.1644.
Paso 3: Determinación del Valor Crítico
Usamos la tabla t de Student con:
- Grados de libertad: df = n – 1 = 12 – 1 = 11
- Nivel de significancia: α = 0.05
- Prueba de una cola (izquierda)
Busquemos t₀.₀₅,₁₁ en la tabla t o lo calculamos directamente.
El valor crítico de t para α = 0.05 y df = 11 es aproximadamente -1.796.
Paso 4: Comparación con el Estadístico de Prueba
- t calculado = -1.164
- t crítico = -1.796
Dado que t calculado > t crítico, no estamos en la región de rechazo.
Por lo tanto, no se puede rechazar H₀, lo que significa que se tiene evidencia estadística de que la media de las aspiradoras es mayor o igual a 46.
Respuesta Correcta:
a. No se puede rechazar H₀, se tiene evidencia estadística de que la media de las aspiradoras es menor o igual a 46.
Problema 3: Prueba de Hipótesis sobre la Varianza (Meditación)
En la revista Hypertension de la American Heart Association, investigadores reportan que los individuos que practican la meditación trascendental (MT) bajan su presión sanguínea de forma significativa. Si una muestra aleatoria de 225 hombres que practican la MT meditan 8.5 horas a la semana, con una desviación estándar de 2.25 horas, ¿esto sugiere que la desviación estándar es menor a 2 horas? Utilice un nivel de significancia del 5%.
Seleccione una opción:
- a. χ² = 567, se rechaza H₀, la varianza es menor a 4, con un nivel de significancia del 5%
- b. χ² = 567, se rechaza H₀, la varianza es mayor o igual a 4, con un nivel de significancia del 5%
- c. χ² = 567, no se puede rechazar H₀, la varianza es mayor o igual a 4, con un nivel de significancia del 5%
- d. χ² = 567, no se puede rechazar H₀, la varianza es menor a 4, con un nivel de significancia del 5%
Paso 1: Definición de Hipótesis
- Hipótesis Nula (H₀): σ² ≥ 2² = 4 (la varianza poblacional es mayor o igual a 4).
- Hipótesis Alternativa (H₁): σ² < 4 (la varianza poblacional es menor a 4).
Dado que la pregunta es si la desviación estándar es menor a 2 (equivalente a varianza menor a 4), realizamos una prueba de una cola a la izquierda.
Paso 2: Cálculo del Estadístico de Prueba
El estadístico de prueba para la varianza es:
χ² = ((n – 1) * s²) / σ₀²
donde:
- n = 225 (tamaño de la muestra)
- s = 2.25 (desviación estándar muestral)
- σ₀² = 2² = 4 (varianza poblacional propuesta en H₀)
Sustitución de valores:
χ² = ((225 – 1) * 2.25²) / 4
χ² = (224 * 5.0625) / 4
χ² = 1134 / 4
χ² = 283.5
Nota: El valor χ² = 567 mencionado en las opciones no coincide con el cálculo basado en los datos proporcionados (n=225, s=2.25, σ₀=2). El cálculo correcto es 283.5. Mantendremos el valor 567 en las opciones según el texto original, pero el cálculo aquí muestra el proceso.
Tipos de Pruebas Estadísticas Comunes
Para elegir la prueba estadística adecuada, es importante considerar el tipo de datos, el tamaño de la muestra y la hipótesis que se está probando. Aquí se presenta información sobre cuándo usar las pruebas Chi-Cuadrado (χ²), F de Fisher, t de Student o Normal (Z):
1. Prueba Chi-Cuadrado (χ²)
Se usa para comparar varianzas o proporciones, especialmente con datos categóricos.
✅ Cuándo usarla:
- Para comparar la varianza de una población con un valor específico (σ₀²).
- Para tablas de contingencia (evaluar independencia entre variables categóricas).
- Para pruebas de bondad de ajuste (verificar si los datos siguen una distribución esperada).
✏️ Ejemplo:
- Comparar si la varianza de una muestra de resistencia de hilos es menor que un valor dado.
- Verificar si la distribución de clientes en diferentes tiendas sigue una distribución esperada.
2. Prueba F de Fisher
Se usa para comparar dos varianzas.
✅ Cuándo usarla:
- Para comparar la variabilidad entre dos poblaciones.
- Se usa en la prueba de homogeneidad de varianzas (importante para decidir si aplicar una prueba t con varianzas iguales o distintas).
✏️ Ejemplo:
- Comparar si la varianza de resistencia a la tensión del hilo A es menor que la del hilo B.
3. Prueba t de Student
Se usa para comparar medias cuando la muestra es pequeña (n < 30) o la varianza poblacional es desconocida.
✅ Cuándo usarla:
- Para comparar una media muestral con un valor poblacional (μ₀) cuando la varianza poblacional (σ²) es desconocida.
- Para comparar medias de dos grupos independientes (prueba t para muestras independientes).
- Para comparar medias de un mismo grupo antes y después de un tratamiento (prueba t para muestras pareadas).
✏️ Ejemplo:
- Comparar si la media de resistencia de un hilo es diferente a 80 kg.
- Comparar la media de presión arterial antes y después de un tratamiento en los mismos pacientes.
- Comparar la media de fuerza de dos tipos de cables.
4. Prueba Normal (Z)
Se usa para comparar medias cuando la muestra es grande (n ≥ 30) o se conoce la varianza poblacional (σ²).
✅ Cuándo usarla:
- Para comparar una media muestral con un valor poblacional (μ₀) cuando se conoce la varianza poblacional (σ²) o la muestra es grande (n ≥ 30).
- Para comparar proporciones en datos categóricos cuando la muestra es grande.
✏️ Ejemplo:
- Evaluar si el tiempo promedio de fabricación de un producto es mayor que 15 minutos con una muestra de 100 observaciones.
- Comparar la proporción de clientes que prefieren dos productos diferentes.
Tipos de Pruebas Estadísticas Comunes (Duplicado)
Para elegir la prueba estadística adecuada, es importante considerar el tipo de datos, el tamaño de la muestra y la hipótesis que se está probando. Aquí se presenta información sobre cuándo usar las pruebas Chi-Cuadrado (χ²), F de Fisher, t de Student o Normal (Z):
1. Prueba Chi-Cuadrado (χ²)
Se usa para comparar varianzas o proporciones, especialmente con datos categóricos.
✅ Cuándo usarla:
- Para comparar la varianza de una población con un valor específico (σ₀²).
- Para tablas de contingencia (evaluar independencia entre variables categóricas).
- Para pruebas de bondad de ajuste (verificar si los datos siguen una distribución esperada).
✏️ Ejemplo:
- Comparar si la varianza de una muestra de resistencia de hilos es menor que un valor dado.
- Verificar si la distribución de clientes en diferentes tiendas sigue una distribución esperada.
2. Prueba F de Fisher
Se usa para comparar dos varianzas.
✅ Cuándo usarla:
- Para comparar la variabilidad entre dos poblaciones.
- Se usa en la prueba de homogeneidad de varianzas (importante para decidir si aplicar una prueba t con varianzas iguales o distintas).
✏️ Ejemplo:
- Comparar si la varianza de resistencia a la tensión del hilo A es menor que la del hilo B.
3. Prueba t de Student
Se usa para comparar medias cuando la muestra es pequeña (n < 30) o la varianza poblacional es desconocida.
✅ Cuándo usarla:
- Para comparar una media muestral con un valor poblacional (μ₀) cuando la varianza poblacional (σ²) es desconocida.
- Para comparar medias de dos grupos independientes (prueba t para muestras independientes).
- Para comparar medias de un mismo grupo antes y después de un tratamiento (prueba t para muestras pareadas).
✏️ Ejemplo:
- Comparar si la media de resistencia de un hilo es diferente a 80 kg.
- Comparar la media de presión arterial antes y después de un tratamiento en los mismos pacientes.
- Comparar la media de fuerza de dos tipos de cables.
4. Prueba Normal (Z)
Se usa para comparar medias cuando la muestra es grande (n ≥ 30) o se conoce la varianza poblacional (σ²).
✅ Cuándo usarla:
- Para comparar una media muestral con un valor poblacional (μ₀) cuando se conoce la varianza poblacional (σ²) o la muestra es grande (n ≥ 30).
- Para comparar proporciones en datos categóricos cuando la muestra es grande.
✏️ Ejemplo:
- Evaluar si el tiempo promedio de fabricación de un producto es mayor que 15 minutos con una muestra de 100 observaciones.
- Comparar la proporción de clientes que prefieren dos productos diferentes.