Niveles de adquisición de la cadena numérica
- 1. Nivel de cuerda: El niño dice los números como si fueran una canción: “unodostres…”. No distingue dónde termina una palabra y empieza otra. No sirve para contar objetos.
- 2. Nivel de cadena irrompible: Puede recitar la secuencia, pero solo si empieza desde el número 1. Ya distingue cada número como una palabra separada y puede contar objetos.
- 3. Nivel de cadena rompible: Puede empezar a contar desde cualquier número (por ejemplo, desde el 3). Se llama “rompible” porque puede romper la cadena y comenzar donde quiera.
- 4. Nivel de cadena numerable: Puede contar un número determinado de pasos desde un número dado. Ejemplo: “Cuenta 5 números a partir del 8” → llega al 13. Este nivel permite realizar operaciones básicas (sumar y restar contando).
- 5. Nivel de cadena bidireccional: Es el nivel más avanzado. Puede contar hacia adelante y hacia atrás desde cualquier número. El tiempo empleado para ir hacia adelante o hacia atrás debe ser similar.
Los seis principios del conteo
- Orden estable: Los números se dicen siempre en el mismo orden: 1, 2, 3… No es válido saltarse ninguno ni inventar otros.
- Abstracción: Se puede contar cualquier cosa, aunque sean objetos de diferente naturaleza.
- Correspondencia uno a uno: A cada número le corresponde un solo objeto. No se puede repetir un número ni señalar dos objetos con una misma palabra.
- Irrelevancia del orden: El orden en que se cuenten los elementos no influye en el resultado; el total será siempre el mismo.
- Valor cardinal: El último número nombrado representa el total de elementos del conjunto.
- Unicidad: Cada número es único y no puede repetirse dentro del mismo proceso de conteo.
Principios de medida y conservación
A) Principio de conservación: Una magnitud no cambia aunque cambie la forma, posición o apariencia del objeto.
B) Principio de transitividad: Si el objeto A mide lo mismo que B, y B mide lo mismo que C, entonces A y C miden lo mismo.
Etapas del desarrollo de la conservación y transitividad según Piaget
- Etapa inicial (Perceptiva): Los niños solo observan, no miden. Comparan visualmente (“parece más alto”). No comprenden aún la conservación ni la transitividad.
- Etapa intermedia (Comparación directa): Comienzan a usar instrumentos, aunque de forma rudimentaria. Utilizan unidades más grandes que el objeto o superponen objetos para comparar. Progresivamente, emplean unidades pequeñas (dedos, palmos, etc.).
- Etapa final (Transitividad operativa): Utilizan unidades pequeñas y adecuadas. Si las unidades son grandes, las subdividen. Comprenden plenamente la conservación y pueden realizar cálculos de medida.
Tipología de problemas de una etapa
Son aquellos que se resuelven mediante una sola operación matemática.
2.1. Problemas aditivo-sustractivos
- a) Problemas de CAMBIO: Existe una cantidad inicial que se modifica (se añade o se quita algo). Antes tenía… pasa algo… y después tengo…
- Ejemplo de suma: “Tenía 8 € y me dan 12 más. ¿Cuántos tengo ahora?”
- Ejemplo de resta: “Tenía 17 chicles y me quedan 5. ¿Cuántos he dado?” (se busca la diferencia del cambio).
- b) Problemas de COMPARACIÓN: Se comparan dos cantidades distintas.
- Ejemplo: “Marcos tiene 8 € y Raquel 5 €. ¿Cuántos más tiene Marcos?” → Diferencia: 8 − 5.
- c) Problemas de COMBINACIÓN: Se unen dos conjuntos de elementos de la misma naturaleza pero con distinta característica.
- Ejemplo: “Luisa tiene 12 bombones rellenos y 5 normales. ¿Cuántos tiene en total?” → 12 + 5.
- d) Problemas de IGUALACIÓN: Se tienen dos cantidades distintas y se modifica una para igualarla a la otra.
- Ejemplo: “Juan tiene 17 €. Si Rebeca ganara 6 €, tendría los mismos que él. ¿Cuántos tiene Rebeca?” → Rebeca + 6 = 17 → 17 − 6.
2.2. Problemas de multiplicación y división
- a) Reparto equitativo: Consiste en distribuir una cantidad en grupos iguales.
- Ejemplo: “96 cromos en 12 páginas, con el mismo número en cada una. ¿Cuántos hay por página?” → 96 ÷ 12.
- b) Comparación multiplicativa: Se comparan dos cantidades utilizando expresiones como “veces más” o “veces menos”.
- Ejemplo: “Luisa tiene 4 veces más dinero que Juan, quien tiene 8 €.” → 8 × 4.
- Ejemplo: “Aurelio tiene 3 veces menos dinero que Ana, y Aurelio tiene 8 €.” → 8 × 3 (para hallar lo de Ana).
- c) Problemas de razón: Intervienen dos cantidades extensivas (ej. km, horas) y una relación fija entre ellas.
- Ejemplo: “Una moto recorre 45 km en 1 h. ¿Cuántos km recorrerá en 3 h?” → 45 × 3.
- d) Producto cartesiano: Se combinan todos los elementos de un conjunto con todos los del otro.
Problemas de varias etapas
Son aquellos que requieren más de una operación para su resolución. Se clasifican en:
- 3.1. Según el tipo de operaciones: Problemas puros o problemas mixtos.
- 3.2. Según el orden de los datos: Directos o indirectos.
- 3.3. Según el tipo de enunciado: Fraccionado o compacto.
Niveles de Van Hiele para el aprendizaje de la geometría
- NIVEL 0: VISUALIZACIÓN. El niño reconoce figuras por su forma global, no por sus propiedades. No explica por qué es un cuadrado; usa lenguaje cotidiano y ve la figura como un todo.
- NIVEL 1: ANÁLISIS. Identifica propiedades de las figuras y enumera características, pero no las relaciona entre sí ni con otras figuras. Describe propiedades sin conectar ideas lógicas.
- NIVEL 2: ORDENACIÓN. Relaciona propiedades entre sí y clasifica figuras. Unas propiedades se deducen de otras. Comienza el razonamiento matemático, aunque sin demostraciones formales.
- NIVEL 3: DEDUCCIÓN FORMAL. Utiliza definiciones, axiomas y teoremas. Realiza demostraciones lógicas y sigue razonamientos complejos. Aparecen por primera vez las demostraciones formales.
- NIVEL 4: RIGOR. Compara sistemas geométricos distintos y trabaja con geometría abstracta.
Fases de aprendizaje de Van Hiele
- Fase 1: Información. El profesor averigua los conocimientos previos del alumno. Las preguntas deben exigir justificación.
- Fase 2: Orientación dirigida. Secuencia de actividades graduadas (ejercicios sencillos y ordenados). El alumnado descubre conceptos mediante el descubrimiento manipulativo, sirviendo de base para avanzar al siguiente nivel.
- Fase 3: Explicitación. Los alumnos explican oralmente y por escrito lo descubierto. Intercambian ideas y organizan conceptos. El profesor corrige el lenguaje geométrico; se sistematiza lo que ya saben.
- Fase 4: Orientación libre. Actividades nuevas y más complejas que no son de aplicación directa. El alumnado resuelve solo o en grupo sin ayuda del profesor para consolidar lo aprendido (problemas abiertos).
- Fase 5: Integración. No se introducen contenidos nuevos. Se realiza una síntesis de todo lo aprendido, reorganizando ideas para refuerzo, ampliación o evaluación.
Fases para la resolución de problemas según Polya
- Comprender el problema: Leer el enunciado dos veces, identificar datos e incógnitas. El profesor guía mediante preguntas. Es útil realizar dibujos, esquemas o tablas.
- Planificar la resolución: Establecer estrategias (imaginar un problema más sencillo, dividirlo en partes, empezar por el final). Determinar la utilidad de cada paso y asegurar el uso de todos los datos.
- Ejecutar el plan: Comprobar cada paso, explicando cada operación (qué se hace y por qué). Volver al principio si ocurre un bloqueo.
- Revisión: Expresar la solución de forma clara, verificar si responde a lo pedido, comprobar si la solución tiene sentido y buscar otras formas de resolución.
Teorías del aprendizaje y clasificación de problemas
Comparativa de teorías
- Teoría de Absorción: El conocimiento se imprime desde el exterior. Es un aprendizaje por asociación, pasivo, receptivo y acumulativo. El control es externo. Una persona que sabe es aquella que posee mucha información.
- Teoría Cognitiva: El conocimiento se elabora desde dentro. Es un proceso activo con regulación interna. Una persona que sabe es alguien que posee comprensión y medios para resolver problemas nuevos.
Tipos de problemas según su procedimiento
- Aplicación directa: Solo requieren aplicar una operación conocida.
- Algorítmicos: Tienen un procedimiento fijo (regla de tres, algoritmos).
- Heurísticos: Necesitan estrategias como el dibujo o el ensayo y error.
- Creativos: No tienen un camino fijo ni una única respuesta.
Tipos de problemas según su naturaleza y soluciones
- Cualitativos: Responden con una propiedad.
- Cuantitativos: Responden con un número.
- Experimentales: Requieren manipular, medir o construir.
- Cerrados: Tienen una sola solución.
- Abiertos: Admiten varias respuestas posibles.
