Fundamentos de la Didáctica Matemática: Teorías y Enfoques para el Aprendizaje Infantil

La Noción de Obstáculo en el Aprendizaje Matemático (Guy Brousseau)

Definición y Origen del Error

La noción de «obstáculo» fue introducida por Guy Brousseau. A diferencia de otras teorías como la empirista o la conductista, que consideraban el error como un simple producto de la ignorancia, el azar o la falta de conocimiento, Brousseau sostiene que el error es el resultado de un conocimiento anterior que fue útil en cierto momento, pero que ahora se revela inadecuado o incorrecto. Es decir, no todos los errores surgen por desconocimiento, sino que muchos provienen de conocimientos previos mal aplicados en nuevos contextos. Por ello, los errores derivados de obstáculos no son fortuitos ni imprevisibles, sino estructurales y con causas identificables. Se constituyen, por tanto, en verdaderos obstáculos para la construcción del nuevo conocimiento.

Obstáculos en la Construcción del Conocimiento Matemático

Los obstáculos entran normalmente en el proceso de construcción del conocimiento matemático; es ilusorio querer evitar a toda costa los errores debidos a los obstáculos. Bien al contrario, los alumnos deben enfrentarse a ellos, superarlos y tomar conciencia de sus limitaciones. Para que esto sea posible, el profesor debe necesariamente ponerlos ante situaciones donde interactúen con un medio que les provoque desequilibrios y retroacciones. En la Escuela Infantil, este medio está constituido por situaciones que permitan a los niños “jugar y trabajar para aprender”. El diseño de estas situaciones no es una tarea trivial ni espontánea, sino que implica un serio trabajo de ingeniería didáctica ajustado a modelos teóricos que controlan su validez y pertinencia para el aprendizaje de las matemáticas.

Tipos de Obstáculos

Obstáculos de Origen Epistemológico

Están estrechamente ligados al saber matemático. La construcción del conocimiento matemático se enfrenta a ellos y se apoya en ellos. El proceso de aprendizaje que llevan a cabo los alumnos pasa por situaciones en las que, inevitablemente, se han de encontrar con ellos.

Obstáculos de Origen Ontogenético

Están ligados al desarrollo neurofisiológico de los sujetos. Los errores que cometen los alumnos de la Escuela Infantil en torno a la conservación de las colecciones de objetos son de este tipo.

Obstáculos de Origen Didáctico

Se deben a las decisiones que toma el profesor o el propio sistema educativo en relación con algunos conocimientos matemáticos. Por ejemplo, la presentación ostensiva que llevan a cabo los profesores de las figuras geométricas desde la Escuela Infantil, a la que anteriormente nos hemos referido, constituye un verdadero obstáculo didáctico para los procesos de prueba y demostración en geometría que se han de llevar a cabo en cursos superiores. Los alumnos mantienen durante mucho tiempo una profunda confusión entre el simple dibujo que “muestra” (que basta con mirar) y la construcción geométrica fundada en propiedades, proposiciones y teoremas geométricos.

El Pensamiento Infantil en la Etapa Preescolar (Jean Piaget)

Características del Pensamiento Preoperacional

El pensamiento infantil en la etapa preescolar, según Piaget y otros estudios recogidos en la obra “Matemáticas en Educación Infantil”, se caracteriza por una serie de rasgos que influyen directamente en cómo el niño se aproxima a los conceptos matemáticos:

Egocentrismo intelectual: El niño no es capaz aún de adoptar el punto de vista del otro ni de considerar otra perspectiva que no sea la suya. Este rasgo se refleja también en su lenguaje, con monólogos simultáneos que parecen diálogos, pero no lo son. A medida que interactúa con otros, especialmente en situaciones de aprendizaje, el niño va reemplazando argumentos subjetivos por otros más objetivos, lo que le ayuda a avanzar en su desarrollo cognitivo.
Pensamiento irreversible: El niño aún no puede imaginar una transformación y luego deshacerla mentalmente. Percibe el punto de partida y el final, pero no los pasos intermedios. Por ejemplo, si se le muestra cómo se pasa de una figura a otra y se le pide que vuelva al estado inicial, no puede hacerlo mentalmente.
Realismo y concreción: Sus representaciones están siempre ligadas a objetos reales y concretos. Las ideas abstractas las traduce a situaciones tangibles, ya que su pensamiento aún no puede operar con símbolos desligados de la realidad.
Animismo: Atribuye cualidades humanas a objetos inanimados. Para él, los números o las figuras geométricas pueden «sentir» o «querer», lo que refleja una confusión entre realidad y fantasía propia de esta etapa.
Centración: El niño se fija solo en un aspecto de la situación, lo que le impide considerar la totalidad. Por ejemplo, al comparar dos colecciones de objetos, se fija en el tamaño de los elementos o en su disposición espacial, y no en la cantidad real.
Razonamiento transductivo: Su razonamiento pasa de un caso particular a otro sin establecer generalizaciones lógicas. Concluye que dos situaciones similares visualmente tienen el mismo resultado, aunque no haya relación lógica entre ellas.

Etapas del Pensamiento Preoperacional

Este conjunto de características define lo que Piaget denominó pensamiento preoperacional, caracterizado por su base en lo perceptivo, lo concreto y lo estático. Dentro de este período, se distinguen dos etapas:

Etapa preconceptual (2 a 4 años): El niño comienza a construir conceptos, pero de forma incompleta y con mezclas de elementos que no pertenecen al concepto verdadero. Sus errores son consecuencia de esta construcción inacabada.
Etapa intuitiva (4 a 7 años): El pensamiento se apoya principalmente en las percepciones inmediatas. Los esquemas que utiliza no siguen una lógica formal, sino que están basados en su experiencia y en el control visual de la situación. Aún no puede razonar de forma abstracta o formal.

Estas características hacen que el trabajo matemático en Educación Infantil deba partir de experiencias concretas, manipulativas y significativas, que respeten el estadio cognitivo en el que se encuentra cada niño, favoreciendo el tránsito progresivo desde un pensamiento más perceptivo a otro más lógico.

La Construcción del Número en la Infancia (Constance Kamii)

Constance Kamii (1983), basándose en las teorías de Piaget, sostiene que el número no debe enseñarse directamente, sino que debe ser construido por el propio niño mediante su actividad mental sobre el mundo físico y social. Para ello, propone tres principios pedagógicos fundamentales:

Principios Pedagógicos Fundamentales

1. Creación de todo tipo de relaciones: El desarrollo del número está íntimamente ligado a la capacidad del niño para establecer relaciones entre objetos, acciones y situaciones. No se trata solo de contar, sino de relacionar el pensamiento lógico con las experiencias concretas. Por ejemplo, cuando un niño limpia la ensalada derramada, sin ser consciente, establece relaciones espaciales, físicas (uso del papel para absorber), cuantitativas (cinco bolas de papel), morales (actuar solo), etc. Este tipo de experiencias reales favorecen la construcción de estructuras mentales necesarias para entender conceptos como la cantidad, la equivalencia o la transformación.
2. Cuantificación de objetos: Kamii distingue entre contar y cuantificar. Contar puede ser una actividad mecánica, mientras que cuantificar implica pensar lógicamente en la cantidad, comparar conjuntos, hacer correspondencias y tomar decisiones. Para fomentar esto, el docente debe: estimular al niño a contar cuando le interesa o tiene sentido para él; promover la comparación de conjuntos más que el simple conteo; y favorecer la formación activa de conjuntos (por ejemplo, “trae tazas para todos los niños”, no “trae seis tazas”).
3. Interacción social con compañeros y maestros: El aprendizaje del número también requiere interacción social, especialmente entre pares. Es en el diálogo con otros donde el niño: defiende sus ideas, escucha otras opiniones y contrasta y modifica sus estrategias. El maestro no debe centrarse en corregir respuestas, sino en comprender el razonamiento detrás del error. Por ejemplo, si un niño trae menos tazas que niños, puede deberse a que no se contó a sí mismo. Este tipo de errores revela el estado del pensamiento del niño y permite al maestro intervenir desde la comprensión y no desde la corrección autoritaria.

Niveles de Razonamiento Numérico

Kamii también destaca tres niveles de razonamiento numérico: intuitivo (actúa al azar, sin lógica ni correspondencia); espacial (usa la disposición física para comparar cantidades); y lógico (razona mediante procedimientos internos, ej. repartir alternadamente 18 fichas).

El objetivo educativo no es obtener respuestas correctas, sino estimular el paso de niveles más bajos de razonamiento a otros más lógicos y autónomos, respetando el proceso evolutivo de cada niño.

Modelos de Enseñanza-Aprendizaje Matemático

La Representación Ostensiva y el Conductismo

La representación ostensiva se da en el modelo conductista de enseñanza-aprendizaje matemático, basado en el empirismo, donde el aprendizaje se concibe como un proceso externo al alumno, centrado en la transmisión directa del conocimiento por parte del docente. En este modelo, el alumno no construye conocimiento, sino que lo recibe a través de la exposición clara y repetida de conceptos por parte del maestro. La presentación ostensiva se usa como técnica principal para introducir nociones matemáticas desde edades tempranas, mostrando directamente qué es un concepto a través de ejemplos visuales y sin dejar espacio a la exploración o el error.

Aportaciones de Mialaret a la Didáctica Matemática

Mialaret amplía los principios didácticos de Dienes, incorporando una visión más profunda sobre el papel del lenguaje, el razonamiento y la evolución del conocimiento matemático. Considera que la formación matemática debe ayudar al alumnado a pasar de la realidad concreta al pensamiento abstracto, mediante un lenguaje simbólico que permite representar situaciones diferentes pero equivalentes desde el punto de vista matemático. Asimismo, resalta que las matemáticas, al ser una ciencia en constante evolución, deben adaptarse a los cambios sociales y a las nuevas necesidades, lo que exige una actualización continua de los contenidos y métodos educativos. Para él, estudiar matemáticas no es solo adquirir técnicas, sino aprender a razonar y a tomar conciencia de los propios procesos mentales. En este sentido, subraya la importancia del lenguaje preciso como herramienta de organización del pensamiento, ya que la forma de expresar un razonamiento forma parte esencial del mismo. Además, afirma que el niño no inventa las matemáticas, sino que las descubre progresivamente con la guía del profesorado, y que ese descubrimiento requiere una estructuración progresiva del conocimiento ya adquirido.

Por último, Mialaret advierte que el verdadero desafío pedagógico consiste en conectar las actividades concretas (reales o imaginarias) con el lenguaje matemático simbólico, evitando una enseñanza basada exclusivamente en la exposición y la memorización, especialmente en las primeras etapas educativas.

Etapas de Mialaret para la Comprensión Matemática

Mialaret propone seis etapas fundamentales para guiar al alumnado desde la acción concreta hasta la comprensión formal del lenguaje matemático, especialmente en el aprendizaje de las operaciones aritméticas:

Acción real con recuperación: La manipulación directa de objetos o situaciones reales precede al pensamiento matemático, ya que no puede haber comprensión sin experiencia concreta previa.
Acción acompañada del lenguaje: Se verbaliza lo que se hace, lo cual permite organizar, interiorizar y profundizar en el conocimiento.
Conducta del relato: El alumno narra lo que ha hecho sin manipular, lo que favorece la depuración del lenguaje y la consolidación del pensamiento.
Acción con objeto simple: Se considera prescindible porque sustituye la realidad por material didáctico, aunque no siempre es necesario recurrir a ello.
Traducción gráfica: Se representa lo vivido mediante dibujos o esquemas, lo que exige un grado mayor de abstracción y permite visualizar relaciones y semejanzas.
Traducción simbólica: El alumno expresa lo comprendido con símbolos matemáticos formales, accediendo a un lenguaje abstracto con significado, que podrá aplicar en nuevas situaciones.

A lo largo de estas etapas, Mialaret insiste en que la enseñanza de las matemáticas debe mantener siempre una conexión entre la realidad y el lenguaje, desarrollando así no solo conocimientos, sino también hábitos de razonamiento conscientes.

Principios de Skemp en el Aprendizaje Matemático

1. Perceptos y Conceptos: Iniciales en el aprendizaje matemático, los niños interpretan estímulos como «avanzando hacia la formación de» mediante percepción, abstracción y generalización.
2. Conceptos Matemáticos: Cruciales en la fase de desarrollo, los conceptos matemáticos, desde correspondencia hasta nociones complejas, son fundamentales. La clasificación impulsa la capacidad de generalización según Piaget, Lovell, Skemp y Orton.
3. Símbolos y Conceptos: La conexión entre símbolos y conceptos matemáticos se establece. Los símbolos, ya sean sonidos o representaciones visuales, se vinculan mentalmente a ideas, facilitando la comunicación efectiva.
4. Conceptos Primarios y Secundarios: Los conceptos primarios, arraigados en experiencias sensoriales, son el punto de partida. A medida que avanzan, se abstraen conceptos secundarios, marcando la evolución desde lo tangible hacia niveles más abstractos en la comprensión matemática.

Principios de Dienes para la Enseñanza de las Matemáticas

1. Principio dinámico: Por medio de juegos, los niños adquirirán las experiencias necesarias para formar los conceptos matemáticos. Dienes hace suyas las tres etapas de Piaget sobre la formación de conceptos: Juego libre (juegos preliminares), Juegos estructurados y Juegos de prácticas.
2. Principio de constructividad: En los juegos, la construcción precederá siempre al análisis, al menos hasta la etapa de las operaciones formales de Piaget. El Principio de constructividad indica que cuando se intente crear situaciones matemáticas habrá que tener en cuenta que, si bien no siempre los niños pueden formar juicios lógicos, pueden en cambio construir conceptos matemáticos mucho antes de lo que se creía.
3. Principio de variabilidad matemática: Los conceptos que constan de más de una variable deben ser formados mediante distintas actividades en cuyo conjunto se manipulen la totalidad de dichas variables. El Principio de variabilidad matemática lo que nos dice es que, si queremos disponer de las condiciones de experiencia óptimas para desarrollar el concepto de que se trate, habrá que variar todas las variables.
4. Principio de variabilidad perceptiva: Mediante este principio, Dienes pretende tener en cuenta todas las diferencias individuales que pueden presentarse en el modo de abordar la formación de «un mismo» concepto, y dice que el único modo de conseguirlo es proponer trabajos que parezcan muy distintos en los que haya que plasmar o percibir el concepto, pero que, esencialmente, tengan la misma estructura conceptual.

Etapas de Dienes en el Aprendizaje Matemático

Primera Etapa: Adaptación. Juegos libres y preliminares fomentan la adaptación del niño mediante interacciones desordenadas con objetos concretos. La exploración libre y la satisfacción intrínseca preparan para las etapas siguientes.
Segunda Etapa: Estructuración. Actividades estructuradas introducen reglas y restricciones, buscando experiencias que conduzcan al mismo concepto. Aunque la claridad en el objetivo aún no es evidente, se sientan las bases para la comprensión.
Tercera Etapa: Abstracción (Juego de Isomorfismo). Los niños captan la estructura común de los juegos, eliminando aspectos no esenciales. Internalizan operaciones abstractas, como comparar objetos diferentes pero con similitudes. Se realizan juegos isomórficos para reforzar la conciencia estructural.
Cuarta Etapa: Representación Gráfica o Esquemática. La estructura común se representa visualmente de manera gráfica o esquemática, ofreciendo una manifestación visual de la misma.
Quinta Etapa: Descripción de las Representaciones. Se nombran y explican las propiedades de las representaciones utilizando el lenguaje técnico de procedimientos y operaciones, introduciendo el lenguaje simbólico matemático.
Sexta Etapa: Formalización o Demostración. El niño demuestra de manera segura y convencional lo aprendido. Adquiere la capacidad de retroceder y explicar cada proceso anterior de manera reflexiva.

Conductismo en la Educación Matemática

El conductismo, fundamentado en el empirismo, destaca la importancia de la experiencia sensorial en la construcción del conocimiento. B.F. Skinner, psicólogo clave en esta corriente, desarrolló la Teoría del Condicionamiento Operante, aunque su influencia en la educación infantil ha disminuido. En este modelo, el maestro ocupa un papel central, y el aprendizaje se considera como una transferencia directa de conocimientos del maestro al alumno. La presentación ostensiva es un método comúnmente utilizado, y se evitan los errores para prevenir malos hábitos.

Conceptos Clave en la Didáctica de las Matemáticas

¿Qué Entendemos por «Saber Matemáticas» según Brousseau?

Según Brousseau, “Saber matemáticas no es solamente saber definiciones y teoremas para reconocer la ocasión de utilizarlos y aplicarlos; es ocuparse de problemas que, en sentido amplio, incluye tanto encontrar buenas preguntas como encontrar buenas soluciones. Una buena reproducción, por parte del alumno, de la actividad matemática exige que este intervenga en dicha actividad, lo cual significa que formule enunciados y pruebe proposiciones; que construya modelos, lenguajes, conceptos y teorías; que los ponga a prueba e intercambie con otros; que reconozca los que están construidos conforme a la cultura matemática y que tome los que le son útiles para continuar su actividad.

Constructivismo en la Educación Matemática

Influenciado por filósofos como Brousseau y Kant, el constructivismo se centra en los procesos internos del alumno en lugar de los estímulos externos. Jean Piaget es una figura destacada en esta corriente. La teoría del aprendizaje significativo de Ausubel y los mapas conceptuales de Novak también son relevantes. Según este modelo, aprender matemáticas implica construir matemáticas. Se destacan cuatro hipótesis fundamentales:

El aprendizaje se basa en la acción.
Los conocimientos previos se adaptan y reestructuran.
Se aprende en contra de los conocimientos anteriores.
Los conflictos cognitivos pueden facilitar la adquisición de conocimientos.

Transposición Didáctica y Dinámica

Transposición Didáctica

Hace referencia al cambio que el conocimiento matemático sufre para ser adaptado como objeto de enseñanza; es decir, es el conjunto de variaciones que sufre un conocimiento.

Transposición Dinámica

Implica adaptar la enseñanza de matemáticas considerando la evolución del pensamiento de los estudiantes a lo largo del tiempo. Este enfoque reconoce que el pensamiento no es estático y busca ajustar la presentación de conceptos matemáticos de manera sensible al desarrollo cognitivo de los niños, utilizando estrategias pedagógicas, manipulativos y actividades que se alineen con sus capacidades cambiantes. En resumen, se enfoca en una enseñanza dinámica y relevante a lo largo del proceso de aprendizaje.

El Propósito de la Educación Matemática

La educación matemática busca ampliar la cultura de los ciudadanos, no para convertirlos en «matemáticos aficionados» o expertos en cálculos complejos, ya que las computadoras manejan esto eficientemente. Su objetivo es cultivar la capacidad de interpretar y evaluar críticamente información matemática, así como comunicar y resolver problemas matemáticos en contextos cotidianos y profesionales, brindando una base cultural indispensable en la sociedad moderna.

Las Matemáticas en la Vida Cotidiana

Mundo biológico: Dentro del campo biológico, puede hacerse notar al alumno que muchas de las características heredadas en el nacimiento no se pueden prever de antemano: sexo, color de pelo, peso al nacer, etc. Algunos rasgos como la estatura, número de pulsaciones por minuto, recuento de hematíes, etc., dependen incluso del momento en que son medidas. La probabilidad permite describir estas características.
Mundo social: El hombre no vive aislado: vivimos en sociedad; la familia, la escuela, el trabajo y el ocio están llenos de situaciones matemáticas. Podemos cuantificar el número de hijos de la familia, la edad de los padres al contraer matrimonio, el tipo de trabajo. Las creencias o aficiones de los miembros varían de una familia a otra; todo ello puede dar lugar a estudios numéricos o estadísticos.
Mundo físico: Una necesidad de primer orden es la medida de magnitudes como la temperatura, la velocidad, etc. Por otra parte, las construcciones que nos rodean (carreteras, plazas, puentes) proporcionan la oportunidad de analizar formas geométricas; su desarrollo ha precisado de cálculos geométricos y estadísticos, uso de funciones y actividades de medición y estimación (superficies, volúmenes, tiempos de transporte, de construcción, costes, etc.).
Mundo económico: La contabilidad nacional y de las empresas, el control y previsión de procesos de producción de bienes y servicios de todo tipo no serían posibles sin el empleo de métodos y modelos matemáticos.
Mundo político: El gobierno, tanto a nivel local como nacional o de organismos internacionales, necesita tomar múltiples decisiones y para ello necesita información. Por este motivo, la administración precisa de la elaboración de censos y encuestas diversas. Desde los resultados electorales hasta los censos de población, hay muchas estadísticas cuyos resultados afectan las decisiones del gobierno. Los índices de precios al consumo, las tasas de población activa, emigración, inmigrantes, estadísticas demográficas, producción de los distintos bienes, comercio, etc., de las que diariamente escuchamos sus valores en las noticias, proporcionan ejemplos de razones y proporciones.

Propiedades Matemáticas Fundamentales

Propiedad Asociativa

La propiedad asociativa nos dice que el agrupamiento de los números no afecta el resultado final de la operación. Relacionado con las regletas de Cuisenaire, que son herramientas manipulativas utilizadas en la enseñanza de matemáticas, podemos ilustrar la propiedad asociativa de la siguiente manera: Imagina que tienes tres regletas de colores diferentes, por ejemplo, una regleta roja, una verde y una amarilla. Si queremos realizar una operación de suma con estas regletas, por ejemplo: roja + verde + amarilla, el orden en que las agrupemos no cambiará el resultado total.

Propiedad Conmutativa

La propiedad conmutativa es un principio matemático que establece que el orden en que se realizan las operaciones no altera el resultado final. Por ejemplo, utilizando las regletas de Cuisenaire para sumar, podríamos representar la operación: 2+3. Si usamos una regleta de longitud 2 y otra de longitud 3, podemos unirlas para formar una regleta de longitud total 5.

Ahora, aplicando la propiedad conmutativa, podemos cambiar el orden de las regletas: 3+2. Al usar una regleta de longitud 3 y otra de longitud 2 y unirlas en diferente orden, seguimos obteniendo la misma longitud total de 5.