Hipótesis fundamentales de la Mecánica de Fluidos
1. Hipótesis del Medio Continuo
Esta hipótesis considera que el fluido es una sustancia matemáticamente continua en todo el espacio que ocupa, ignorando su naturaleza molecular discreta y los espacios vacíos intermoleculares. Gracias a esto, las propiedades macroscópicas del fluido (como la densidad ρ, la velocidad v⃗, la presión p y la temperatura T) se pueden definir como funciones continuas de las coordenadas espaciales y del tiempo, permitiendo el uso del cálculo diferencial e integral.
2. Hipótesis del Equilibrio Termodinámico Local
Establece que, aunque un fluido globalmente se encuentre en una situación de no equilibrio dinámico o térmico (es decir, en movimiento o con gradientes térmicos), cualquier elemento infinitesimal o partícula fluida se encuentra en un estado de equilibrio termodinámico interno en un instante dado. Esto permite asignar de forma unívoca variables de estado (como p, ρ, T) a cada punto y utilizar las ecuaciones de estado clásicas de la termodinámica (ej. p = ρRT).
Importancia
Ambas hipótesis constituyen la piedra angular de la Mecánica de Fluidos macroscópica. Sin ellas, sería necesario resolver el movimiento individual de trillones de moléculas mediante la mecánica estadística. Al aceptarlas, se simplifica drásticamente el modelado físico y matemático, haciendo viable la formulación de las ecuaciones diferenciales gobernantes (Ecuaciones de Navier-Stokes) para resolver cualquier problema de ingeniería práctica.
Aceleración de una partícula fluida
Se presentan a continuación dos expresiones para calcular la aceleración de una partícula fluida:
Explicación de los términos
- a⃗: Vector aceleración total de la partícula fluida.
- ∂v⃗ / ∂t: Aceleración local. Representa la variación temporal de la velocidad en un punto fijo del espacio ocupado por el flujo.
- v⃗ · ∇v⃗: Aceleración convectiva. Representa el cambio de velocidad debido al movimiento de la partícula a través de regiones con velocidades espaciales distintas.
- x⃗₀: Vector posición inicial que identifica de manera unívoca a una partícula específica.
Identificación de Enfoques
- Enfoque Euleriano: Analiza el campo de flujo fijando la atención en puntos determinados del espacio, sin importar qué partícula pasa por ellos. La aceleración total es la derivada material o sustancial (D/Dt).
- Enfoque Lagrangiano: Sigue la trayectoria de partículas individuales perfectamente identificadas a lo largo del tiempo. La aceleración es simplemente la derivada temporal directa de su velocidad respecto al tiempo.
Ejemplos reales
- Enfoque Euleriano: Medición de la velocidad del viento en un aeropuerto mediante un anemómetro fijo en una torre.
- Enfoque Lagrangiano: El seguimiento meteorológico de la atmósfera soltando un globo sonda que flota libremente moviéndose con las corrientes de aire.
Estudio del movimiento en el entorno de un punto
Importancia y significado
El análisis del movimiento en el entorno de un punto permite descomponer la velocidad de una partícula fluida elemental en sus contribuciones fundamentales. El gradiente del campo de velocidades es un tensor de segundo orden que se descompone en:
- Parte Simétrica (S)ᵢⱼ o γᵢⱼ (Tensor de velocidad de deformación): Describe la tasa a la que el elemento de fluido cambia de volumen (deformación volumétrica o dilatación) y cambia de forma (deformación angular o por cizalladura).
- Parte Antisimétrica (A)ᵢⱼ o aᵢⱼ (Tensor de velocidad de rotación): Describe la rotación rígida pura del elemento fluido sobre sus ejes sin sufrir cambio de forma. Está directamente relacionado con el vector vorticidad.
Fuerzas de volumen y de superficie
Descripción y diferencias
- Fuerzas de Volumen (Másicas): Son aquellas que actúan a distancia sobre toda la masa del elemento de fluido (proporcionales al volumen o masa). Ejemplos: la gravedad, fuerzas electromagnéticas o fuerzas inerciales debidas a sistemas de referencia no inerciales (aceleración lineal, centrífuga, Coriolis, aceleración angular).
- Fuerzas de Superficie: Actúan directamente sobre las caras externas del elemento a través del contacto directo con el fluido circundante (proporcionales al área). Son la presión y las fuerzas viscosas tangenciales/normales.
La expresión general de fuerzas másicas en un sistema no inercial es:
f⃗ₘ = g⃗ – a⃗₀ – (dΩ⃗/dt) × x⃗ – Ω⃗ × (Ω⃗ × x⃗) – 2Ω⃗ × v⃗
Aplicación numérica
El sistema se mueve con aceleración lineal uniforme a⃗₀ = 3i⃗ – 6k⃗, sin rotación (Ω⃗ = 0). La fuerza másica gravitatoria estándar es g⃗ = -9,8 k⃗ m/s². Aplicando la relación en el sistema móvil:
f⃗ₘ = g⃗ – a⃗₀ = (-9,8 k⃗) – (3i⃗ – 6k⃗)
f⃗ₘ = -3i⃗ – 3,8k⃗ [m/s²]
Ecuación fundamental de la fluidoestática
Partiendo de la ecuación general de conservación de la cantidad de movimiento (Navier-Stokes):
ρ (Dv⃗/Dt) = ρ f⃗ – ∇p + μ ∇²v⃗.
Al imponer la condición estática de reposo absoluto o relativo (v⃗ = 0 y Dv⃗/Dt = 0), los términos de inercia y los esfuerzos viscosos se anulan de forma idéntica, resultando la ecuación fundamental de la fluidoestática:
∇p = ρ f⃗
Condiciones de aplicación
El fluido debe estar en reposo estático respecto a un sistema de referencia (inercial o no inercial con aceleraciones uniformes/rotaciones constantes), eliminando cualquier esfuerzo cortante tangencial.
Casos particulares de interés
- a) Fuerzas másicas que derivan de un potencial: Si las fuerzas externas son conservativas, se expresan como f⃗ = -∇Uₚ (donde Uₚ es el potencial de fuerzas, como gz para la gravedad). Así, la ecuación queda ∇p = -ρ ∇Uₚ, lo que implica que las superficies isóbaras e isócoras coinciden con las superficies equipotenciales.
- b) Fluidos de densidad constante (Líquidos): Si ρ = cte, la integración directa bajo la gravedad genera la ecuación de la hidrostática: p + ρ g z = cte, es decir: p₂ – p₁ = ρ g (z₁ – z₂).
- c) Equilibrio de gases (Atmósfera): La densidad varía según la ley de gases ideales (ρ = p / Rg T). Sustituyendo en la ecuación diferencial (dp/dz = -ρg) para una atmósfera isoterma (T = cte), se obtiene la distribución exponencial barométrica: p(z) = p₀ e^(-g z / Rg T).
Tensión superficial y equilibrio en entrefases
Cuando los fenómenos de tensión superficial son dominantes, las condiciones de equilibrio en la entrefase de dos fluidos son fundamentales:
- p₁ – p₂: Salto de presión hidrostática o discontinuidad a través de la entrefase curva (siendo p₁ la presión en el lado cóncavo, que siempre es mayor).
- σ: Coeficiente de tensión superficial del fluido (fuerza por unidad de longitud).
- R₁, R₂: Radios de curvatura principales de la entrefase.
- ∇ₛ σ = 0: Condición de equilibrio tangencial. Evita gradientes superficiales que generarían el efecto Marangoni.
Ejemplos de aplicación
Cálculo del equilibrio de gotas de lluvia, estabilidad de burbujas, formación de pompas de jabón y modelación de meniscos capilares.
Capilaridad y Número de Bond
- Número de Bond (B): Parámetro adimensional definido como B = ρ g L² / σ. Compara fuerzas de volumen (gravedad) frente a fuerzas de superficie (tensión superficial). Si B << 1, los efectos capilares dominan.
- Salto de presión:
- Gotas y burbujas: Δp = 2σ / R.
- Pompas de jabón: Δp = 4σ / R (debido a sus dos entrefases).
- Longitud capilar (λ꜀): Escala espacial donde la tensión superficial supera a la gravedad: λ꜀ = √(σ / ρg). Para el agua a 20°C es ≈ 2.7 mm.
Problema: Elevación capilar entre placas paralelas
Datos: b = 0,1 mm, σ = 0,072 N/m, θ = 0º, ρ = 1000 kg/m³.
1. Justificación: B = ρ g b² / σ = 1,36 × 10⁻³ << 1 (Dominancia capilar).
2. Geometría: Al ser placas, el menisco es cilíndrico: R₁ = b / 2 y R₂ = ∞.
3. Equilibrio: Δp = 2σ / b. Por hidrostática: Δp = ρ g h.
4. Resultado: h = 2σ / (b ρ g).
h = 0,147 m = 14,7 cm.
Equilibrio y estabilidad de cuerpos flotantes
Condición de equilibrio
Un cuerpo inmerso experimenta el peso (W) en el Centro de Gravedad (G) y el empuje (E) en el Centro de Carena (C). Para el equilibrio: W = E y deben estar alineados verticalmente.
Estabilidad y Altura Metacéntrica
Al escorar un buque (ángulo dθ), el centro de carena se desplaza a C’. La vertical del empuje corta el eje de simetría en el Metacentro (M). La distancia GM define la estabilidad:
- Equilibrio Estable (GM > 0): M está sobre G. Se genera un par adrizante que endereza el buque.
- Equilibrio Inestable (GM < 0): M está bajo G. El par aumenta la escora, provocando el vuelco.
Conservación de la masa y Enfoque Integral
Ecuación de Continuidad (Diferencial)
(Dρ / Dt) + ρ (∇ · v⃗) = 0
- Dρ / Dt: Variación de densidad siguiendo la partícula.
- ρ (∇ · v⃗): Tasa de expansión o compresión volumétrica.
Si ∇ · v⃗ = 0, el fluido es incompresible (ρ = cte).
Teorema del Transporte de Reynolds (TTR)
Relaciona cambios en un sistema material con un Volumen de Control (VC). Aplicado a un pistón en un cilindro:
Vₘ = Vₚ · [ D₁² / (D₂² – D₁²) ]
Ecuaciones de Navier-Stokes y Balance Energético
La ecuación de Navier-Stokes representa la conservación de la cantidad de movimiento. Términos principales:
- Inercia: ρ [ u(∂u/∂x) + … ]
- Presión: -∂p/∂x
- Fuerzas másicas: ρ fₘ
- Viscosidad: μ [ ∇²u ]
Ecuación de Bernoulli generalizada
Para una máquina de fluido:
(pₑ / ρ) + (Vₑ² / 2) + g zₑ + w_bomba = (pₛ / ρ) + (Vₛ² / 2) + g zₛ + hₗ
Ejemplo numérico: Con Δp = 0,9 kgf/cm², el trabajo es w_bomba = 88,29 J/kg, equivalente a una altura manométrica de 9,0 m.c.a.
Análisis Dimensional y Turbulencia
Semejanza Física
Basado en el Teorema Π de Buckingham. En buques, intervienen:
- Número de Reynolds (Re): Inercia vs Viscosidad.
- Número de Froude (Fr): Inercia vs Gravedad.
Es imposible igualar ambos en modelos a escala con el mismo fluido, por lo que se usa semejanza parcial (priorizando Froude).
Turbulencia y Ecuaciones RANS
Mediante la Descomposición de Reynolds (φ = φ¯ + φ’), surgen las ecuaciones RANS. Aparece el Tensor de Esfuerzos de Reynolds (-ρ v⃗’v⃗’¯), que representa el transporte de cantidad de movimiento por torbellinos.
El problema de cierre de la turbulencia requiere modelos adicionales como:
- Hipótesis de Boussinesq: Introduce la viscosidad turbulenta (μₜ).
- Modelos k-ε o k-ω: Ecuaciones de transporte para cerrar el sistema.
- Modelos RSM: Resuelven cada componente del tensor de esfuerzos.