Desarrollo del Pensamiento Matemático en la Etapa Escolar: Fundamentos y Estrategias Didácticas

El Papel de las Matemáticas en la Etapa Escolar

1.1. La Importancia de las Matemáticas en la Escuela

Las matemáticas no son una ciencia estática; **evolucionan** según las necesidades de cada época. Su importancia en la escuela está intrínsecamente ligada al **contexto sociocultural** (economía, política, etc.). Las matemáticas siempre han estado presentes en la educación, aunque su enfoque ha variado a lo largo de la historia.

1.2. El Fracaso de las Matemáticas Modernas

1.2.1. Final de la II Guerra Mundial y el Surgimiento de las Matemáticas Modernas

En los años 50 del siglo XX, tras la II Guerra Mundial y la división del mundo en dos bloques (Estados Unidos y la Unión Soviética), surgió la necesidad de reformular la enseñanza de las matemáticas en Estados Unidos. La **competencia espacial** y la constatación de las **deficiencias matemáticas** de sus soldados impulsaron un cambio en el currículo. Se abandonó la matemática clásica en favor de un enfoque más **abstracto**, basado en la **teoría de conjuntos de Cantor**.

Entre 1967 y 1968, la publicación de artículos en revistas especializadas, firmados por el pseudónimo **Nicolas Bourbaki** (un grupo de matemáticos franceses), influyó en la adopción de estas nuevas matemáticas en las escuelas. Se caracterizaban por su **abstracción**, dando gran importancia a la **lógica** y al **álgebra**.

La formación del profesorado fue apresurada e insuficiente, lo que, junto con la **abstracción de los contenidos** para el nivel evolutivo de los alumnos, condujo al **fracaso de este enfoque**. Se creía que niños de 14 años podían trabajar con abstracciones complejas (ej., “el gato con siete patas”).

Posteriormente, en una reunión en Kuwait en 1987, se concluyó que las matemáticas escolares debían ser **flexibles, comprensibles y útiles**, adaptándose a la diversidad del alumnado en una sociedad democrática e igualitaria. Se destacaron informes como el **Informe Cockcroft** y las directrices del **NTCM (National Council of Teachers of Mathematics)**.

A pesar de las numerosas reformas educativas (LODE, LOGSE, LOPEG, LAU, Decretos de Mínimos, LOU, Ley de Calidad, LOE, Currículos Autonómicos), la formación docente no ha evolucionado al mismo ritmo, lo que requiere una profunda reflexión.

1.3. Matemáticas y Currículo: Criterios para su Diseño

1.3.1. ¿Qué es el currículo?

Según el NTCM, el currículo es un **plan operativo** que detalla qué matemáticas deben conocer los alumnos, cómo deben enseñar los profesores y el contexto del proceso de enseñanza-aprendizaje.

Las variables que lo conforman son:

• Los conocimientos a transmitir
• El colectivo al que se imparte
• Los profesores que lo imparten
• La institución escolar
• Los métodos y recursos de enseñanza
• Los métodos de evaluación

El conocimiento matemático implica el desarrollo de diversas **habilidades**:

1. **Desarrollo del pensamiento**: capacidad para “leer” un hecho, establecer relaciones y deducir consecuencias.
2. **Patrones y regularidades**: promover la expresión, elaboración y apreciación de patrones (ej., colores, formas).
3. **Construcción del conocimiento**: enseñanza participativa, manipulación, diálogo.
4. **Trabajo cooperativo**: fomentar la colaboración y la defensa de las propias ideas.
5. **Trabajo científico**: enseñar las fases de un planteamiento científico y las destrezas necesarias.
6. **Incorporación al mercado laboral**: proporcionar conocimientos básicos aplicables a diferentes ámbitos.
7. **Expresión formalizada**: transmitir las matemáticas con orden y estructura.

El profesor de matemáticas debe:

• Desarrollar la comprensión y las destrezas matemáticas necesarias para la vida adulta.
• Proporcionar las matemáticas necesarias para otras asignaturas.
• Fomentar el gusto por las matemáticas y la conciencia de su papel en la sociedad.
• Mostrar que las matemáticas son un poderoso medio de comunicación.

La **competencia matemática** es la capacidad de realizar una tarea con éxito utilizando, relacionando e integrando diferentes conocimientos matemáticos en un contexto determinado.

1.4. Elementos del Diseño Curricular

1.4.1. Hechos y Destrezas

Los **hechos** son unidades de información: términos, notaciones, convenios y resultados.

• **Términos**: denominaciones de conceptos o relaciones (ej., logaritmo, tangente, paralelismo).
• **Notaciones**: signos para expresar ideas brevemente (ej., 4 = 2 + 2).
• **Convenios**: acuerdos para comunicar sin ambigüedad (ej., el cero a la izquierda no tiene valor).
• **Resultados**: información a veces necesaria memorizar (ej., dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí).

Las **destrezas y técnicas** implican el dominio de los hechos y procedimientos de razonamiento, cálculo o deducción (ej., cálculo numérico, uso de calculadora, instrumentos de medida).

1.4.2. Estructuras Conceptuales

Son conjuntos de conocimientos interconectados, **relaciones entre conceptos básicos** que permiten establecer propiedades e inferir conclusiones (**teoremas**). Ejemplo: el grupo en álgebra.

1.4.3. Estrategias Generales

Procedimientos que guían la elección de destrezas o conocimientos en la **resolución de problemas** (ej., estimación, aproximación, ensayo-error, búsqueda de modelos).

1.5. Dificultades del Aprendizaje Matemático

1.5.1. Naturaleza de las Matemáticas

Las matemáticas son **abstractas, jerarquizadas, deductivas** y requieren **intuición espacial**.

1.5.2. Lenguaje de las Matemáticas

El lenguaje matemático tiene un componente natural y otro formal. Algunas palabras tienen el mismo significado en ambos contextos, mientras que otras no (ej., “ordenar”).

1.5.3. Modo de Aprender de los Alumnos

Hipótesis sobre las dificultades de aprendizaje:

1. **Inadecuación entre el nivel de abstracción y el desarrollo mental**: solo una minoría de alumnos de 16 años alcanzan el estadio formal de pensamiento.
2. **Transformaciones de los conocimientos en la memoria**: memoria visual, semántica y literal.
3. **Conflicto entre intuición y lógica**: el contexto sociocultural influye en la resolución de problemas.

1.5.4. Actitud del Alumnado

Una buena metodología fomenta actitudes positivas. Se consiguen a través de:

• Percepciones adecuadas
• Modo de presentación adecuado
• Actitudes adecuadas del profesorado
• Acercamiento adecuado al pensamiento y lenguaje matemático

1.5.5. Resolución de Problemas

Dificultades extramatemáticas: incomprensión del enunciado, inseguridad, ansiedad, miedo al riesgo, falta de perseverancia.

La **resolución de problemas** es el objetivo básico de las matemáticas en la pedagogía moderna.

1.6. Métodos, Recursos y Material Didáctico

La metodología tradicional se basaba en la exposición del profesor. Actualmente, se fomenta el diálogo y el debate. El trabajo práctico ha evolucionado de la realización de cálculos rutinarios a la manipulación de objetos, representación y expresión simbólica.

1.6.1. Recursos

Elementos del medio escolar aprovechables para la formación matemática.

1.6.2. Materiales

Materiales fungibles, **material didáctico** (ábacos, bloques multibase, instrumentos de medida, juegos de lógica).

Los Números

2.1. Introducción

2.1.1. Cálculo

El cálculo (del latín calculus, piedrecilla) comienza con la enseñanza del número. El número es una **abstracción**, una propiedad de las agrupaciones de objetos (conjuntos).

Existe un mundo intermedio entre los objetos y los números: el mundo de los conjuntos. Las necesidades de la vida conducen a agrupar elementos según un criterio elegido.

Etapas para llevar al niño de la realidad al pensamiento:

1. Descubrir conjuntos en el entorno.
2. Construir conjuntos utilizando criterios (propiedad, uso).

Se debe trabajar la construcción de conjuntos, incluyendo conjuntos vacíos o con un solo elemento. Se recomiendan juegos y ejercicios con elementos variados, evitando la rutina y la mecanización.

2.1.2. Elementos de un Programa a Realizar con los Niños

Se debe considerar:

1. Descubrir, constituir, definir y organizar conjuntos; operaciones con conjuntos; relaciones término a término; propiedades comunes.
2. Trabajar las representaciones: construcciones, modelados, dibujos; simbolización de objetos y relaciones.
3. Adquirir el conocimiento de los números (valor cardinal y ordinal).
4. Utilizar material didáctico (Dienes, Cuisenaire, Discat, Montessori).

2.2. El Concepto de Número: Algunas Reflexiones

El cálculo estudia el conocimiento del número, las operaciones y las relaciones entre ellos. El proceso de iniciación pasa por la **percepción, intuición, lógica y abstracción**.

El número es una **abstracción**, imposible de definir para niños pequeños. Se puede aproximar a él fijándose en sus usos y utilidades:

1. **Secuencia verbal** (1, 2, 3…)
2. **Contar** (una oveja, dos ovejas…)
3. **Expresar una cantidad** (tengo siete coches)
4. **Medir** (la pared mide 6,5 metros)
5. **Marcar una posición** (llegué el primero)
6. **Código** (número de camiseta)
7. **Tecla o resorte** (teclas del ordenador)

**Génesis y evolución conceptual del número**:

1. **Unicidad**: distinción entre uno y muchos.
2. **Coordinabilidad**: correspondencia uno a uno.
3. **Registro**: muescas en madera.
4. **Etiquetas**: nombres para las clases.
5. **Orden**: ordenar los modelos.
6. **Sistema de numeración**: signos y palabras.
7. **Contar**: comparar elementos con símbolos de referencia.
8. **Adjetivos**: adjetivos ordinales y cardinales.

**Metodología en la iniciación a los números**: etapas manipulativa, verbal, gráfica y simbólica.

2.3. Sistemas de Numeración

La finalidad de un sistema de numeración es asignar a cada número natural un nombre y una representación escrita. Tipos:

1. **Representación simple**: muescas o piedrecitas.
2. **Agrupamiento simple**: agrupaciones de símbolos.
3. **Agrupamiento múltiple**: agrupaciones reiteradas.
4. **Sistemas multiplicativos**: griego, babilónico, nuestro sistema decimal.
5. **Sistemas multiplicativos ordenados**: orden de los símbolos.
6. **Sistemas posicionales**: mayas (con el cero).

La numeración indo-arábiga se caracteriza por ser **posicional** y **decimal**, con el uso del **cero**.

Operaciones Aritméticas Básicas con Números

3.1. Consideraciones Generales

Las operaciones aritméticas (**suma, resta, multiplicación y división**) son la expresión simbólica de acciones sobre objetos reales (agregar, separar, reiterar, repartir).

Etapas en el aprendizaje de las operaciones:

1. Acciones
2. Modelos
3. Expresión simbólica
4. Tablas
5. Algoritmos
6. Resolución de problemas

3.2. Fundamentación de las Operaciones

Para la suma y la resta se utilizan acciones reales de unión y separación de conjuntos. Se trabaja con objetos físicos, luego con objetos más abstractos, y finalmente con cantidades pequeñas sin manipulación física.

3.3. La Función de los Problemas

Los **problemas** son herramientas de enseñanza. En las primeras edades, la manipulación de objetos es necesaria antes de la representación gráfica. Metodología clásica: manipulación, representación gráfica, representación simbólica, resolución de problemas. Metodología actual: el problema como punto de partida.

3.4. Problemas de Sumas y Restas

Tipos de problemas:

• **Combinación**: juntar dos conjuntos.
• **Cambio aumentando**: aumentar una cantidad.
• **Cambio disminuyendo**: disminuir una cantidad.
• **Comparación**: comparar dos cantidades.
• **Igualamiento**: igualar dos cantidades.

3.5. Estrategias de Resolución de Problemas

Metodología tradicional: contar con los dedos, representar con conjuntos, escribir sentencias numéricas. Metodología actual: acciones con objetos, marcas en papel, verbalización, sentencias numéricas.

**Estrategias informales**:

**Aditivas**: contar, contar a partir del primer sumando, contar a partir del sumando mayor.

**Sustractivas**: emparejamiento, quitar, separar.

**Estrategias de representación**: icónicas (materiales manipulables, representaciones gráficas) y simbólicas (verbales y numéricas).

3.6. Conclusiones para la Enseñanza de la Suma y la Resta

1. Los problemas son el fundamento, no el fin.
2. Plantear todo tipo de problemas.
3. Tener presentes las dificultades.
4. Estrategia inicial: ejecutar acciones con materiales.
5. La elección de la estrategia depende de la estructura semántica.
6. En primer curso: conteo verbal o mental. En segundo curso: memorización de resultados.
7. La representación es importante.
8. Secuenciar las formas de representación.
9. Las representaciones deben reflejar los elementos del problema.
10. Introducción simultánea de suma y resta.
11. Propiedad conmutativa y asociativa de la suma.

3.7. Iniciación a los Algoritmos de la Suma y la Resta

Los **algoritmos** son procedimientos o secuencias de órdenes. Se necesita el manejo del **sistema de numeración decimal** y el conocimiento del **ábaco**. La **comprensión conceptual** ofrece ventajas para el aprendizaje.

Secuencia de objetivos:

1. Contar por decenas (4 años)
2. Agrupaciones de unidades en decenas (5 años)
3. Sumas y restas hasta el 10 (6 años); valor posicional; algoritmos con números de dos dígitos; cálculo mental.
4. Equivalencias entre unidades, decenas y centenas (7 años); algoritmos con números de tres dígitos; cálculo mental.
5. Estimación y cálculo mental y escrito con números de cuatro o más dígitos.

3.8. Otros Procedimientos de Cálculo

**Cálculo mental, cálculo estimativo** y uso de la **calculadora**.

3.9. La Multiplicación: Naturaleza

La **multiplicación** es una operación aritmética entre números naturales. Se puede presentar de forma binaria (más matemática) o unitaria (más intuitiva, como suma reiterada).

3.10. La Naturaleza de la División

La **división** es la operación inversa de la multiplicación, o una resta reiterada. Se puede presentar como repartir o como una serie de restas reiteradas.

3.11. Problemas de Multiplicación y de División

**Multiplicación**:

• **Razón**: sumas reiteradas.
• **Combinación**: productos cartesianos.

**División**:

• **Agrupamiento-razón**: ej., cuántos paquetes puedo comprar.
• **Partición-razón**: ej., cuánto vale cada paquete.

3.12. Las Propiedades de la Multiplicación

• **Conmutativa**: AxB = BxA
• **Asociativa**: (AxB)xC = Ax(BxC)
• **Distributiva respecto a la suma**: Ax(B+C) = AxB + AxC

Metodología: manipulación, representación gráfica, expresión verbal, expresión numérica.

3.13. Estrategias de Memorización

Construir las **tablas de multiplicar** mediante sumas reiteradas.

3.14. Algoritmos de la Multiplicación y de la División

**Multiplicación**:

1. Memorizar tablas.
2. Descomponer números.
3. Multiplicar por potencias de 10.
4. Conocer las propiedades.

**División**: saber multiplicar y restar; idea de repartir; divisiones exactas e inexactas.

3.15. Errores y Obstáculos en los Algoritmos

Los **errores** deben ser aprovechados como elementos de aprendizaje. Para corregir errores persistentes:

1. Repetir el algoritmo lentamente.
2. Repasar los conocimientos conceptuales.

Se requiere enseñanza personalizada y tiempo. La **comprensión del algoritmo** es fundamental.

Iniciación a la Topología y a la Geometría

4.1. Introducción

Las matemáticas se apoyan en la **aritmética** y la **geometría**. Ambas están interrelacionadas.

4.2. La Enseñanza de la Geometría

La **geometría** tiene su origen en la medición de tierras. Evolucionó hacia un enfoque deductivo, basado en **axiomas y teoremas**. La **topología** es una rama de la geometría.

4.3. Cómo se Hacen Asequibles al Pensamiento Infantil Estas Nociones

La concepción del espacio del niño es subjetiva, basada en su experiencia corporal. Las **nociones topológicas** (junto-separado, cerca-lejos, abierto-cerrado, recto-curvo) constituyen la base para la estructuración del espacio. Hasta los 12 años, el pensamiento infantil es **concreto y subjetivo**.

4.4. Dificultades en el Aprendizaje de las Nociones Geométricas

Dificultades relacionadas con el **esquema corporal, la lateralización, la organización del espacio, la descentración** y la **conservación de la longitud o la forma**.

Causas:

• Inmadurez psicomotora.
• Falta de experiencia.

Aspectos donde surgen dificultades:

1. **Relaciones espaciales**: conocimiento del esquema corporal, lateralización, descentración.
2. **Medida**: nociones de seriación, clasificación, correspondencia; conservación de la distancia y la longitud.
3. **Formas geométricas**: distinción, reproducción gráfica y adquisición del concepto.

4.5. Objetivos de la Enseñanza-Aprendizaje de la Topología y la Geometría en la Edad Infantil

1. Estimular el desarrollo de la **organización espacial**.
2. Identificar objetos según sus características.
3. Diferenciar cualidades de los objetos.
4. Interiorizar el **esquema corporal**.
5. Establecer **relaciones espaciales**.
6. Adquirir nociones de **longitud y distancia**.
7. Comprender la **medida**.
8. Considerar el espacio como un recipiente.
9. Conseguir una **estructuración espacial descentrada**.
10. Distinguir y reproducir **formas geométricas**.
11. Adquirir **vocabulario básico**.

4.6. Orientaciones Didácticas

1. Trabajar el esquema corporal y la proyección en el espacio.
2. Realizar actividades en diferentes entornos.
3. Observación y descripción.
4. Utilizar fotografías.
5. Presentar contenidos gradualmente.
6. La noción de área requiere mucha práctica.
7. Estudiar las figuras geométricas en objetos usuales y en la naturaleza.

4.7. Materiales

Objetos del aula, **puzles, regletas, bloques lógicos, geoplanos, tangram, mecanos, regla, cartabón**.