Ejercicios Resueltos de Progresiones Aritméticas y Geométricas


Problema 1: El Ciclista en Descenso

Un ciclista avanza cuesta abajo a razón de cuatro metros el primer segundo y en cada segundo sucesivo avanza un metro más.

Preguntas:

  1. ¿Cuánto recorre el ciclista solo a los 11 segundos?
  2. ¿Cuál fue la distancia total recorrida en los primeros 15 segundos?

DESARROLLO

a) Distancia recorrida en el segundo 11:

XX9uSGaIiIBbM4iIZgECAwECAwECAwECAwECAwVb

IlhgBBChhoOpGj3qhB3OUIJGg1moMqWc5wigYZFb

kuVx+CeFcM+8t5mAQ122QYAIOsKMaA32BCEppUWo

Respuesta: El ciclista recorrió 14 metros en el segundo 11.

b) Distancia total recorrida en los primeros 15 segundos:

XfuwHZ6Aqt3EdnRaWMFDqIhxGJf6s+VilV3QFCEf

Respuesta: La distancia total recorrida fue de 165 metros.

Problema 2: Ahorro para el Futuro del Hijo

Un padre proyecta colocar en un baúl 50.000 pesos el día que su hijo cumpla un año, e ir colocando 5.000 pesos más que el año anterior sucesivamente en todos los cumpleaños.

Preguntas:

  1. ¿Cuánto tendrá que colocar el día que su hijo cumpla 18 años?
  2. ¿Cuánto dinero habrá en total en el baúl, cuando su hijo haya cumplido 18 años?

DESARROLLO

a) Cantidad a depositar en el cumpleaños número 18:

Q4K831+TkhADs=

S1IsX0+bygQPyRJRwCHeokkSxBwkCKCInl9lQCXj

x6RJphormmupUs1NhZh9yq2qWcOTxoEADs=

Deberá depositar 135.000 pesos.

b) Dinero total acumulado en el baúl al cumplir 18 años:

Fkud0KpqO97XmkXce5WiO9U8EAQA7

Respuesta: En el baúl habrá un total de 1.665.000 pesos.

Problema 3: Plan de Ahorro de María Cecilia

María Cecilia ha empezado un plan de ahorro de 30 días para hacer regalos de Navidad a cada uno de sus compañeros de trabajo del Programa de Matemática.

Para esto, ahorrará cada día “d“ pesos más que el día anterior. Si el octavo día ahorró $2.900 y el día 20 ahorró $5.300. ¿Qué día tendrá ahorrado $3.900?

DESARROLLO

AbcKcJ9Ul2ERGgnB2pD8GfEOqJRklTEgbt88ZqIS

Vd1NtYVgUy4amNSaLFBz0GVmDLvEp6KGItsVjooj

Resolviendo el sistema, se obtienen los valores de ‘a’ y ‘d’:

Q7mGnGOcnLIZtGSkQSAjusmMmU8DjahWFIiR0hs2

Así:

VwdyCOfJl5VS+GJVEVl+RyWJzBE1Jj1dwOmWFmGq

n = 13

Respuesta: El día en que ahorre $3.900 será el día 13.

Problema 4: Crecimiento de Matrícula en Sede Puente Alto

La sede de Puente Alto crece en alumnos matriculados en forma constante cada año. Si el segundo año de funcionamiento había 1.950 alumnos y el quinto año 4.500 alumnos. ¿Cuántos alumnos matriculados se podría esperar para el noveno año?

DESARROLLO

Se tiene:

Q6zdsQESdRfJk85L3FSa4kgXocV8QgeOONnCYFiE

nm72Cp+AwM2LgW5EGkUjiFJz0qhEIZ3rJYAZm5l4

Resolviendo el sistema, se obtienen los valores de ‘a’ y ‘d’:

hJJRAhlW2AvsRlIMs68RezVlp7dxWaLxUx3fs1XI

Así:

5YlSYWJDvOjIbgB8UaIRGMZhIxIGcvfgkAAMROSR

Respuesta: Se esperarían 7.900 alumnos matriculados para el noveno año.

Problema 5: Devaluación de un Auto Deportivo

Un auto deportivo se devalúa (pérdida de valor) en una cantidad constante cada año. El valor al tercer año es de $15.800.000 y al séptimo es de $12.400.000. ¿Cuánto costará al décimo año?

DESARROLLO

Se tiene:

aIahE1lwsMRPMra0FHRTpDTAJGtBAckdFQyWF1xu

Ws1fZXEe4AwBdXHn0wryLL3ROO32X0wGzdiBwzk2

Resolviendo el sistema, se obtienen los valores de ‘a’ y ‘d’:

2uC2ZSwQTuM0FB9CUSDmlEh3K2wFj0Mood2YYUoh

Así:

HBEBI0LbUT04ki89RYMxECAQpTYuoSW3edNRNfj3

Respuesta: El auto al décimo año costará $9.850.000.

Problema 6: Aumento del Valor del Arriendo

Se arrienda una casa por 2 años con la condición de que todos los meses el arriendo irá aumentando en una cantidad constante. El mes 4 se pagó $174.400 y el mes 15 se pagó $227.200. ¿Cuál será el valor del arriendo del primer y último mes?

DESARROLLO

Se tiene:

YF0xDSoqKRbYLkVUrAQCuApPOTSIJj6S1MlJIEyK

dlK7o8fKM8LbWOFUOBNP65YQ4QHz+AGiHJGMFiEg

Resolviendo el sistema, se obtienen los valores de ‘a’ y ‘d’:

yqP1FaHtGiNmGuSOTOo177xw3pLGNKeYQVOX9tl3

Primer mes: a = 160.000

Así:

7LPQCM9DYdFMN+300083MgrPuIBnBbKmHA311lx3

Respuesta: El valor del arriendo del primer mes es de $160.000 y el del último mes es de $270.400.

Problema 7: Reproducción de Bacterias

En un laboratorio de biotecnología se estudia la reproducción de una bacteria. Si la cantidad de bacterias se triplica cada 15 minutos. Responda:

Preguntas:

  1. ¿Cuántas bacterias hay después de transcurridas 3 horas?
  2. ¿Cuántas bacterias hay después de transcurridas 6 horas?

DESARROLLO

XX9uSGaIiIBbM4iIZgECAwECAwECAwECAwVbICCO

gi9oQIUhADs=

XX9uSGaIiIBbM4BuboiIZgECAwECAwECAwECAwEC

a) Cantidad de bacterias después de 3 horas:

3 horas = 180 min

180 : 15 = 12 intervalos

I8UiN8GIoZAX96hF8jAQIAg2eHiYtMJQNPKQFrUx

qAARQ1OikZKmp0mxVsxgr8ZEfnVknlXWY60Lq4Yg

QradYUISRWPEB0fr0Engr0JMZQvBxERL5fKARU+J

Respuesta: Hay 531.441 bacterias.

b) Cantidad de bacterias después de 6 horas:

6 horas = 360 min

360 : 15 = 24 intervalos

I8UiN8GIoZAX96hF8jAQIAg2eHiYtMJQNPKQFrUx

pCtAHW6fu6BAEAOw==

QIBwSCwaj8ikcslERgrDZ3NKrVqnkqt2y+Vmu1ZG

Respuesta: Hay 2.82 x 1011 bacterias.

Problema 8: Propagación de Virus Informático

En un estudio realizado a una empresa se tiene que debido a un gran virus el primer día se infectan dos computadores, el segundo día se infectan cuatro computadores, el tercer día se infectan ocho computadores. Determine:

Preguntas:

  1. La cantidad de computadores infectados el decimoquinto día.
  2. Calcule el total de computadores infectados los 10 primeros días.

DESARROLLO

+AfoCDWTJngCEAOw==

XX9uSGaIiIBbM4iIZgECAwECAwVpICCOZGme6Fik

RFWFWRV9AZuuaAWbmLLYcha4VpIVoqWBRyL0RZ7S

Por lo tanto:

njkMAgA7

a) Computadores infectados el decimoquinto día:

I8UiN8GIoZAX96hF8jAQIAg2eHiYtMJQNPKQFrUx

fPyARxIsNgmIZgKkgkCADs=

9JIkl7SBxDbURvAAxFAQIXioCSQn1JEEoLS4gDW5

Respuesta: La cantidad de computadores infectados el decimoquinto día es de 32.768.

b) Total de computadores infectados en los 10 primeros días:

UXoK2mVEIgDZxlXxSXTKpitMmypRcOQCRINRpVbN

KgSv0WzjwWacj5xAgwodSrRoUCMcGu5MmU0IPlZA

pKRLCu17jxAngCQGZWVPJXwAAyUSJ40lcoVJeihZ

Respuesta: La cantidad total de computadores infectados en los 10 primeros días es de 1.022.

Problema 9: Rebote de una Pelota

Se deja caer una pelota desde una cierta altura (en metros). Cada vez que la pelota golpea contra el piso rebota a una razón de la altura anterior. Si después del quinto rebote la altura alcanzada es de 9,8304 metros y después del segundo rebote la altura es de 19,2 metros. Determine la altura que alcanzará después del octavo rebote.

DESARROLLO

  • n: número de rebote
  • 2wECAwECAwECAwECAwVJIABkRjA4jKiuZIoJ0Lpu : Altura alcanzada después del rebote número ‘n’

2wECAwECAwECAwW+ICCOZGmeKLAx08g5QTBYJhUL

0NBGI0plMgWIqGFyZpN5CFp6ePjAIoxOoGBAQdhk

2wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwV3ICCOZGme

Sabemos que:

8bFK7NRgGGVYQoBD4PDtgaclYk1GGE831zhgGyGR

BQclOkoMNOowAXw7WUpNIkEw4g1eDq49LOQDkR7W

JrkmnWtE2Y7Scpp51hrP6fN8i0V4sHQxTcCIbQXx

Igualando, se obtiene: uPPSWatm2OE4diTwRPrIfdjVHFD0s1ZjTEWEfCzG

hKJSHk3C4AFjgrIRIGof1Y0BZlcrRei4jsoHn5nH

Fp5VRRP4se7VKsuCAAOw==

IQA7

Además: 7RHf5q5OH1gUNmTXCmJALmo4MdffI0ISKBBcQX2m

Luego: emPKmdWluRGaX1xz2Vh6NnOgVWtSwx8qojCyyXcf

Respuesta: La altura alcanzada después del octavo rebote es de aproximadamente 5 metros.

Problema 10: Crecimiento de Cultivo de Bacterias

Para un estudio, se tiene un cultivo de bacterias, el que aumenta a una cierta razón cada hora. Se sabe que a la quinta hora había 248.832 bacterias y a la tercera hora había 172.800 bacterias. ¿Cuál será aproximadamente la población total de bacterias al cabo de 1 día?

DESARROLLO

  • n: número de horas
  • 2wECAwECAwECAwECAwECAwECAwVNIABgSRAwSyWu : Cantidad de bacterias

1 día = 24 horas

ICCOZGme6HgFLGNqBjRyERsQWEnb+EjZBdKqlSoa

AFIvDw4zaTkwjQE8JngmOXAjZS19LJQjgZsigQBJ

2wECAwWRICCOZGmeaGpWQau+cExuwwVUcq6nm9gx

Sabemos que:

BDDccijIFRIcRVA5XbPHFUXhAwn7aYuzxxyAfEWP

mtRAeTvQjiQHBhzEcXR02Gfgp7OuymWP5j3ZeZRI

M4teMXb0weIcucIEwor8gjWQcpanwIYOCQjOOeBL

Igualando, se obtiene: QIAoECiEAIBShYH0EAUZpNQZgJIaRKMwe5R6v+Dw

mgQT3EYENsuNZIEAA7

YT7QRkQO1TVRL5XEgmHimnuj8jzEUo7mwoFh26BM

rBEyjBuMMf8ji0Sfj2SKqaJSQeQYgRsFEZCS+KLn

Además: 4c5WfHJJcMWQYcm6zyGUEAADs=

Luego:

AJekCrpc1PsGMMsFrHAcB1678MNzCmVLrxBXbPHF

Respuesta: La cantidad aproximada de bacterias al cabo de 1 día será BgUdnlwM3AcYey+Chn71A+SfsY4AgUQBKzSTLKbZ

Problema 11: Extracción de Vino de un Barril

Se tiene un barril de vino que contiene una cierta cantidad de litros. Cada día de Octubre se extrae el contenido siempre a la misma razón. Se sabe que el día 5 quedan 24 litros y el día 7 quedan 6 litros. Determine la cantidad de litros que quedaron en el barril de vino al segundo día.

DESARROLLO

  • n: día
  • 2wECAwECAwECAwECAwECAwECAwVNIABgSRAwSyWu : Cantidad de litros de vino que quedan en el recipiente.

vO74LQeCufgSAZudYisViVboCFYgYJOJ8BJIATOI

QKGATaBQT0qxW6ChKAM6t+HkYhqbHgIASHke7xra

XWaIiIBbM4iIZgECAwECAwECAwECAwECAwECAwEC

Sabemos que:

3dqGNMTwQBADs=

Dsg2FWNZPrtuhD0YIuXfumsHAL5d+UHWoTNJj4e4

Igualando, se obtiene: XW6AbmaIiIBbM4iIZgECAwECAwECAwECAwECAwEC

XW6AbmaIiIBbM4iIZgECAwECAwECAwECAwECAwEC

jHncBgAc9sANJqysOOnWjABsQEZc0kDizBn1tx5x

XWaIiIBbM4iIZgECAwECAwECAwECAwVrICCOZGma

Además: U0eJOCWOnokkZhLnf0HSAKl8feECQo2ogEDDSbR2

Así: gkuBRIRdA4cBjkKACX10mptDDH5Dl0KJXVAgSxJH

Respuesta: El barril de vino quedará con 192 litros.

Problema 12: Ahorro Acumulado de Héctor para Matías

Héctor, padre de Matías, decidió guardar una cierta cantidad de dinero desde el primer cumpleaños de su hijo. Esta cantidad fue aumentando a una cierta razón. Él recuerda que en el sexto cumpleaños guardó $6.400 y en el noveno cumpleaños guardó $51.200. ¿Cuánto dinero en total tendrá guardado Héctor al otro día del cumpleaños número 18 de Matías?

DESARROLLO

  • n: tiempo en años, a partir del primer cumpleaños
  • GEAA7 : Cantidad de dinero guardado en el cumpleaños ‘n’.

kygJgWNmMqVLW1OqXHlJ00gQADs=

Ag8aBNhTLQC7JQXLXKAEAZmCSVJ+3Pgj0VQLV74y

2wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwWB

Sabemos que:

H51EWIKzEpBE1fC7jRkzRUkfZab+kZ6OKLNLUIoy

ogjcouEAAA7

Igualando y dividiendo VXYoQUwsDzl9h4h9couMjQGJkJGSk5SViUt5KmKG , se obtiene: cIJTLiw3b2IE8Oh+1eq4seQI0vO0qHgZMjOAli+r

CfccwIQA7

2wECAwXAICCOZGme6LgFbOu6aSyLnBEI1IhFc++b

2wECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwECAwVVIAA8

Así, reemplazando en (1):

CegKNgNaKAdAQLwgXUHNngFWcc5KGEQADs=

Por último:

dW2+uEAAA7

Respuesta: Al otro día del cumpleaños n° 18 de Matías, habrá guardado un total de $52.428.600.

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