Introducción a la Mecánica de Fluidos
La mecánica de fluidos estudia el comportamiento de los fluidos, tanto en reposo (estática), como en movimiento (dinámica). En la naturaleza, la materia puede interaccionar con dos tipos de fuerzas: las fuerzas másicas y las fuerzas de superficie.
Fuerzas en la Materia
Fuerzas Másicas: Actúan en toda la materia y no existe contacto físico con el material. La interacción se debe a campos de fuerzas (ejemplo: gravedad y magnética).
Fuerzas de Superficie: Existe contacto físico entre la materia y la fuerza que interacciona. Dicha fuerza superficial se puede descomponer en dos componentes tangenciales a la superficie y otra normal a la superficie, en la misma dirección que el vector superficie (en coordenadas cartesianas).
Operadores Vectoriales Fundamentales
Vector, Producto Escalar y Vectorial
Vector: Magnitud física definida en un sistema de referencia que se caracteriza por tener módulo (o longitud) y una dirección (orientación).
Producto Escalar: $\mathbf{v}.A \cdot \mathbf{v}.B = \text{un número}$ (resultado escalar).
Producto Vectorial: $|\mathbf{v}.A \times \mathbf{v}.B| = |\mathbf{v}.A| \cdot |\mathbf{v}.B| \cdot \sin(\theta)$.
Gradiente
El Gradiente ($\nabla \phi$) se aplica a una función escalar ($\phi$) y resulta en un campo vectorial. Indica la dirección y magnitud del ascenso más rápido de la función.
Divergencia
La Divergencia ($\nabla \cdot \mathbf{a}$) (de un campo vectorial) mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen.
Fórmula: $\mathbf{v}.\nabla \cdot \mathbf{v}.a = $ 
Laplaciano
El Laplaciano ($\nabla^2 \phi$) (de una función escalar) representa la suma de todas las segundas derivadas parciales no mixtas dependientes de una variable.
Rotacional
El Rotacional ($\nabla \times \mathbf{a}$) muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Expresión en coordenadas cartesianas:
Simplificando a un producto vectorial (para aceleración): $\mathbf{v}.\nabla \times \mathbf{v}.a = \text{Determinante de la matriz de componentes}$ (La notación original $v.v \wedge v.a = | i // d/dx // ax |$ hace referencia a la estructura matricial).
Derivada Sustancial o Material
La Derivada Sustancial o Material ($\frac{DB}{Dt}$) (de una función):
Donde:
- El término $\frac{\partial B}{\partial t}$ es la componente temporal (LOCAL), que indica el cambio de $B$ en un punto fijo.
- El término $(\mathbf{v} \cdot \nabla) B$ es la componente convectiva (ESPACIAL), que indica el cambio debido al movimiento del fluido en el espacio.
Balance y Esfuerzo Cortante
Balance General: Entrada (E) + Generación = Salida (S) + Acumulación.
Fuerza Cortante: Fuerza de superficie tangencial aplicada a la superficie de un fluido o un sólido. Los sólidos presentan resistencia a la deformación, pero los fluidos no. Los fluidos presentan resistencia a la velocidad de deformación, la cual está directamente relacionada con una propiedad fundamental: la viscosidad. (Nota: Las fuerzas cortantes no ocurren en un fluido estacionario).
La resistencia a la velocidad de deformación se cuantifica mediante la Viscosidad ($\mu$). Un fluido ideal es aquel que no presenta resistencia a la velocidad de deformación.
Un fluido se deforma continuamente, o fluye, cuando es sometido a un Esfuerzo Cortante ($\tau$): esfuerzo interno o resultante de las tensiones paralelas a la sección transversal de un prisma mecánico (viga, pilar, etc.). Este tipo de fuerza es tangencial.
Fórmula (Ley de Newton de la Viscosidad):
$\tau = \mu \cdot$ 
(Pa)
Donde:
- $\tau$: Esfuerzo cortante.
- $\mu$: Viscosidad.
- $dy$: Distancia.
- $du/dy$: Gradiente de velocidad (o velocidad de deformación), que representa la variación de velocidad en función de la distancia sobre la cual ocurre el cambio.
Viscosidad
La Viscosidad es la propiedad de los fluidos que relaciona el esfuerzo cortante que actúa sobre un fluido con la velocidad de deformación del mismo. Se origina a partir de las interacciones moleculares del fluido. En general, disminuye al aumentar la temperatura (para líquidos).
Clasificación de los Fluidos
Compresibles: El movimiento térmico molecular es mayor que las fuerzas de atracción, por lo que el fluido tiende a ocupar todo el volumen. Ejemplo: Gases. Propician variaciones de volumen y densidad ($\rho$) con facilidad en función de la presión y temperatura.
Incompresibles: El movimiento térmico molecular es menor que las fuerzas de atracción. Ejemplo: Líquidos. Las variaciones de volumen y densidad ($\rho$) son despreciables.
Fluido Newtoniano: Exhibe una relación lineal entre el esfuerzo cortante y la velocidad de deformación. La viscosidad ($\mu$) es constante.
Fluidos No Newtonianos: Fluidos cuya resistencia a fluir aumenta o decrece con la velocidad de deformación. Se dividen en:
- Pseudoplásticos: Su viscosidad es más baja a altas velocidades de deformación (ej. pintura, sangre).
- Dilatantes: Su resistencia a fluir aumenta al incrementar la velocidad de deformación (ej. mezclas de almidón de maíz y agua).
Hipótesis del Continuo
La Hipótesis del Continuo establece que la materia y sus propiedades físicas se consideran dispersas de forma continua en el fluido, y no concentradas en pequeñas fracciones (átomos y moléculas). De este modo, se sustituye la materia de carácter discreto por una materia ficticia continua cuyas propiedades en cada punto vienen dadas por las propiedades promedio de la materia en el entorno de ese punto.
(Gráfico ilustrativo)
Variables Características de los Fluidos
Densidad y Volumen Específico
La Densidad ($\rho$) es la medida que cuantifica la distribución de la masa de un sistema en cada punto $\mathbf{x}$ e instante $t$: $\rho(\mathbf{x}, t)$.
Se define como:
$\rho(\mathbf{x}, t) = \lim_{V \to 0} \frac{1}{V} \sum_{i=1}^{N(V)} m_i$
Donde:
- $V \to 0$: Volumen.
- $V$: Volumen centrado en $\mathbf{x}$.
- $N(V)$: Número de moléculas contenidas en $V$.
- $m_i$: Masa de la $i$-ésima molécula.
El Volumen Específico ($v$) es el volumen por unidad de masa ($v = 1/\rho$).
Velocidad y Aceleración
La Velocidad macroscópica del fluido $\mathbf{v}(\mathbf{x}, t)$ se define como el límite de las velocidades moleculares ponderadas con la masa molecular. Se define como la velocidad del centro de masas de las moléculas contenidas en el volumen $V$ centrado en $\mathbf{x}$.
$\mathbf{v}(\mathbf{x}, t) = \lim_{V \to 0} \frac{1}{\rho V} \sum_{i=1}^{N(V)} m_i \mathbf{w}_i$
Donde $\mathbf{w}_i$ es la velocidad molecular de la $i$-ésima molécula.
Para una partícula fluida localizada en $(x, y, z)$ en el instante $t$, su vector de posición $\mathbf{x}$ en coordenadas cartesianas es:
- Posición: $\mathbf{x} = x(t)\mathbf{i} + y(t)\mathbf{j} + z(t)\mathbf{k}$
- Velocidad: Se define como la variación temporal de la posición: $\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \frac{dx}{dt}\mathbf{i} + \frac{dy}{dt}\mathbf{j} + \frac{dz}{dt}\mathbf{k}$, o $\mathbf{v} = V_x\mathbf{i} + V_y\mathbf{j} + V_z\mathbf{k}$.
- Aceleración: Se define como la variación temporal de la velocidad: $\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}\mathbf{i} + \frac{d^2y}{dt^2}\mathbf{j} + \frac{d^2z}{dt^2}\mathbf{k}$, o $\mathbf{a} = a_x\mathbf{i} + a_y\mathbf{j} + a_z\mathbf{k}$.
Versión Euleriana (Aceleración Material):
$$\mathbf{a} = \frac{D\mathbf{v}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}$$
Donde $\frac{D\mathbf{v}}{Dt}$ es la derivada material y representa la variación total de la velocidad con respecto al tiempo.
Energía
La Energía Total de un fluido por unidad de masa ($e_t$) se obtiene al dividir la energía de las moléculas entre el volumen $V$ en el que están contenidas. Incluye:
- Energía cinética de las partículas.
- Energía de sus grados de libertad internos (rotación, vibración, excitación).
Fórmula:
$e_t = e + \frac{1}{2} V^2$
Donde:
- $e_t$: Energía total por unidad de masa.
- $e$: Energía interna específica (asociada al movimiento molecular y energía de enlaces).
- $\frac{1}{2} V^2$: Energía cinética.
Energía Interna Específica ($e$):
Fórmula compleja:
Donde:
- $e(\mathbf{x}, t)$: Energía interna específica.
- $e_c(\mathbf{x}, t)$: Energía cinética.
- $e_p(\mathbf{x}, t)$: Energía potencial.
- $c_i$: Velocidades de agitación molecular.
- $\phi_{ij}$: Potencial de atracción intermolecular.
Presión
La Presión ($P$) es el valor absoluto de la fuerza normal por unidad de superficie.
Fórmula:
$P = \lim_{\Delta S \to 0} \frac{d\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}}{dS} = \frac{|d\mathbf{F}|}{dS}$
Donde $d\mathbf{F}$ es la fuerza que actúa sobre el elemento de superficie $dS$, y $\mathbf{n}$ es el vector normal a la superficie.
Presión Absoluta:
$P_{abs} = P_{manométrica} + P_{atm}$
La presión manométrica puede ser positiva (presión relativa) o negativa (presión de vacío). La presión atmosférica ($P_{atm}$) se considera constante (aproximadamente 1 atm).