Fundamentos Esenciales de Sistemas de Control: Ganancia, Estabilidad y Función de Transferencia

Información del Curso

Materia: Teoría de Control

Profesor: Andrés López

Sección: DCM602 II V1

Fundamentos de Sistemas de Control

Definición de Sistema de Control

Un Sistema de Control es todo dispositivo o mecanismo encargado de regular, cumplir con una actividad o realizar un proceso.

Componentes Básicos de un Sistema de Control

1. Los objetivos de control (las entradas o señales actuantes).
2. El sistema de control propiamente dicho.
3. La salida o variables controladas.

Clasificación de Sistemas por Variables

Sistema de una Variable

(Definición implícita: Sistemas que controlan un único parámetro de salida).

Sistemas Multivariables

(Definición implícita: Sistemas que controlan múltiples parámetros de salida simultáneamente).

Clasificación por Lazo de Control

Sistema de Control a Lazo Abierto

Son sistemas donde el controlador no posee ningún tipo de información acerca del resultado del proceso. Es un sistema no realimentado y, por ende, no se utiliza donde se necesite satisfacer condiciones de desempeño crítico.

Sistema de Control a Lazo Cerrado (Realimentado)

Son sistemas en los que el controlador posee información proveniente de la salida del proceso, pudiendo realizar modificaciones en el proceso de manera de corregir cualquier discrepancia o incluso detener el proceso para evitar daños. Son sistemas realimentados.

Parámetros Clave del Sistema de Control

Ganancia

La ganancia de un sistema es la relación entre la entrada y la salida:

Ganancia = Salida / Entrada = Y / X

Al realimentar un sistema, la ganancia siempre disminuye. Existen varios mecanismos para compensar la reducción de la señal de salida.

Ganancia a Lazo Abierto

Y = X G₁ G₂

Ganancia = Y / X = G₁ G₂

Ganancia a Lazo Cerrado

Y = X G₁ G₂ / (1 + G₁ G₂ H)

Ganancia = Y / X = G₁ G₂ / (1 + G₁ G₂ H)

Ancho de Banda

El ancho de banda se define como el rango de frecuencias donde la ganancia disminuye 3 dB o menos.

Todo sistema contiene bobinas (inductores) y/o condensadores. La reactancia inductiva o capacitiva depende de la frecuencia de operación; por lo tanto, la ganancia se verá también afectada por la frecuencia de operación. Al realimentar un sistema, el ancho de banda siempre se reduce, por lo que hay que trabajar alejado de las frecuencias de corte.

Para ciertos sistemas, existen rangos de frecuencias en las que la ganancia aumenta o disminuye más todavía.

Error

El Error es la diferencia entre la señal de salida deseada y la obtenida. Al realimentar un sistema, obtenemos una reducción significativa o incluso que el error desaparezca completamente. Esta es la característica más importante en la realimentación.

Ruido o Señales No Deseadas

El ruido o señales no deseadas son señales que afectan negativamente al sistema.

Ruido en Lazo Abierto

El ruido de salida = n G₂

Ruido en Lazo Cerrado

Ruido a lazo cerrado = n G₂ / (G₁ + G₂ H)

El ruido disminuye e incluso se puede volver insignificante al realimentarlo.

Estabilidad

Decimos que un sistema es Estable si es predecible y sus salidas se mantienen dentro de ciertos límites preestablecidos.

• Un sistema que es inestable se puede volver estable al realimentarlo.
• Un sistema que es estable se puede volver inestable al realimentarlo, pero si lo realimentamos nuevamente lo podemos hacer estable.

Ejemplos de Ganancia y Estabilidad

Ganancia inestable = G₁ / (1 + G₁ H₁)

Ganancia estable = G₁ / (1 + G₁ H₁ + G₁ H₂)

Sensibilidad

Un sistema debe ser sensible a cambios en la señal de entrada e insensible a cambios internos del sistema. Al realimentar el controlador, este puede corregir cualquier cambio que el sistema experimente, mejorando la sensibilidad del sistema a cambios únicamente en la señal de entrada.

Tipos de Sistemas de Control Realimentados

Según el Método de Diseño y Modelado

Lineales vs. No Lineales

• Lineales: Son sistemas cuya respuesta es predecible y acotada, es decir, está dentro de ciertos valores preestablecidos.
• No Lineales: Son sistemas donde la salida es impredecible o de carácter exponencial, logarítmico, no acotada.

Variantes en el Tiempo vs. Invariantes en el Tiempo

• Variantes en el Tiempo: Son sistemas cuyas características de importancia cambian en un periodo de tiempo breve.

Ejemplo de Sistema Variante en el Tiempo

Un avión o un cohete en vuelo consumen combustible; por ende, su masa disminuye, su peso se reduce, su centro de masa se mueve, etc.

• Invariantes en el Tiempo: Son sistemas cuyas características de importancia no se modifican en un periodo de tiempo breve.

Ejemplo de Sistema Invariante en el Tiempo

Un periodo de desgaste o consumo lento.

Según el Tipo de Señal

• Continuos
• Discretos
• Modulados
• No modulados

Definiciones por Tipo de Señal

• Continuos: Son sistemas cuya comunicación y supervisión tiene que ser constante. Cualquier interrupción, por breve que sea, puede producir graves daños.
• Discretos: Ejercen supervisión durante breves intervalos de tiempo y durante el resto no. Esto permite que un solo sistema controle varios procesos simultáneamente.
• Modulados: Son sistemas que se utilizan en ambientes ruidosos o para cubrir grandes distancias.

Concepto de Modulación

La Modulación es multiplicar nuestra señal (que por lo general está a baja frecuencia) por un tono o frecuencia alta.

Ejemplos de Sistemas Modulados

Mensaje de voz, reproductor de coche, equipo de celular, canal de TV.

• No Modulados: Se utilizan en distancias cortas o en ambientes libres de interferencias o ruidos.

Ejemplo de Sistema No Modulado

Hablar por teléfono.

Según su Propósito

• De Velocidad: ¿Qué tan rápido lo hace?
• De Posición: ¿Dónde está ubicado?

Modelado Matemático: Funciones de Transferencia

Concepto y Obtención

El primer paso para el diseño de un sistema de control es el modelado matemático de los procesos controlados.

La forma clásica de modelar un sistema lineal es utilizar su Función de Transferencia para representar la relación entre la variable de entrada y la variable de salida. Una forma de obtener la función de transferencia es empleando la respuesta al impulso.

Respuesta al Impulso

La Respuesta al Impulso es la señal de salida de un sistema cuando a la entrada tenemos una función impulso unitario.

Definición Formal de la Función de Transferencia

La función de transferencia de un sistema lineal se define como la transformada de Laplace de la respuesta al impulso con todas las condiciones iniciales iguales a cero.

Si G(s) denota la transformada de Laplace de la función de transferencia de un sistema lineal con una entrada U(t), una salida Y(t) y respuesta al impulso g(t):

G(s) = L[g(t)]

G(s) = Y(s) / U(s)

Donde Y(s) y U(s) son transformadas de Laplace de Y(t) y U(t) respectivamente.

Representación mediante Ecuación Diferencial

A menudo la función de transferencia se describe a partir de una ecuación diferencial:

dⁿY(t)/dtⁿ + a_n-1d^n-1Y(t)/dt^n-1 + a_n-2d^n-2Y(t)/dt^n-2 +…+ a₁dY(t)/dt + a₀ = b_md^mU(t)/dt^m + b_m-1d^m-1U(t)/dt^m-1 + b_m-2d^m-2U(t)/dt^m-2 + b₁dU(t)/dt + b₀

Aplicando la Transformada de Laplace

[sⁿ + a_n-1S^n-1 + a_n-2S^n-2 +…+ a₁S + a₀] Y(s) = [b_mS^m + b_m-1S^m-1 + b_m-2S^m-2 +…+ b₁S + b₀] U(s)

Despejando la Función de Transferencia G(s)

G(s) = Y(s) / U(s) = [b_mS^m + b_m-1S^m-1 + b_m-2S^m-2 +…+ b₁S + b₀] / [sⁿ + a_n-1S^n-1 + a_n-2S^n-2 +…+ a₁S + a₀]

Clasificación de Funciones de Transferencia

• Funciones de Transferencia Propias: Una función de transferencia es propia si el grado del polinomio del denominador es mayor o igual al grado del polinomio del numerador (n ≥ m).
• Funciones de Transferencia Impropias: Una función de transferencia se denomina impropia si el grado del polinomio del numerador es mayor al grado del polinomio del denominador (m > n).

Ecuación Característica de una Función de Transferencia

La ecuación característica de una función de transferencia se obtiene al igualar el polinomio del denominador a cero:

sⁿ + a_n-1S^n-1 + a_n-2S^n-2 +…+ a₁S + a₀ = 0

Propiedades de las Funciones de Transferencia

1. La función de transferencia está definida únicamente para sistemas lineales e invariantes en el tiempo.
2. La función de transferencia entre una variable de salida y una de entrada está definida como la transformada de Laplace de la respuesta al impulso, con todas las condiciones iniciales iguales a cero.
3. Todas las condiciones iniciales son iguales a cero.
4. La función de transferencia es independiente de la entrada.
5. La función de transferencia de un sistema en tiempo continuo se expresa únicamente en función de la variable compleja S; no es función de ninguna variable real, de la variable tiempo, ni ninguna otra variable que esté presente.
6. La función de transferencia de un sistema en tiempo discreto se expresa únicamente en función de la variable Z, cuando aplicamos la transformada Z.

Función de Transferencia de Sistemas Multivariables

Para determinar la función de transferencia de sistemas multivariables, se aplica el teorema de superposición: se determina la función de transferencia para cada entrada individual, igualando las demás a cero y sumando todas las funciones de transferencia obtenidas en cada caso.