Teoría de Colas: Fundamentos y Ejercicios Prácticos Resueltos

¿Qué estudia la Teoría de Colas?

La Teoría de Colas es una rama de la investigación de operaciones que estudia las situaciones donde clientes o tareas deben esperar para recibir un servicio, ya que la capacidad del sistema no es suficiente para atender toda la demanda al mismo tiempo. Por esta razón, se forman filas o colas de espera, tanto en servicios cotidianos (como bancos, supermercados o centros médicos) como en procesos productivos (piezas esperando ser procesadas o revisadas).

En palabras simples, se genera una espera porque en algún momento la capacidad de servicio es menor que la demanda. Esto se puede expresar como:

Capacidad de servicio < Capacidad demandada

Cuando esto ocurre, se genera una cola. Para disminuirla, se puede invertir en aumentar la capacidad de servicio, por ejemplo, contratando más personal, mejorando la tecnología o agilizando los procesos existentes.

Definición de un Sistema de Colas

Se entiende como un conjunto de elementos que interactúan dentro de un proceso de atención o servicio. Sus componentes principales son:

• Clientes: Pueden ser personas, productos o incluso tareas que llegan al sistema en busca de ser atendidos.
• Cola o fila: Cuando la atención no puede realizarse de manera inmediata, los clientes deben esperar en una cola. Esta se forma porque la demanda de atención supera la capacidad de servicio disponible en ese momento.
• Servidor o servidores: Son los encargados de atender a los clientes de acuerdo con un cierto orden o prioridad.
• Salida: Una vez que el servicio ha sido entregado, el cliente abandona el sistema. Sin embargo, en muchos casos puede suceder que algunos clientes se retiren antes de ser atendidos, ya sea por impaciencia o porque consideran que el tiempo de espera es excesivo.

Características de un Sistema de Colas

1. Patrón de llegada de los clientes

   • Generalmente es aleatorio o estocástico, siguiendo una distribución probabilística (como la distribución de Poisson).
   • Puede ser estacionario (constante en el tiempo) o no estacionario (cambia según la hora o el día).
   • También pueden existir clientes “impacientes” que abandonan el sistema si la fila es muy larga.

2. Patrón de servicio de los servidores

   El tiempo que tarda cada atención también puede ser variable o depender de cuántos clientes haya esperando. En algunos casos, el servidor puede acelerar su ritmo si hay más demanda.

3. Disciplina de la cola

   Es el orden en que se atiende a los clientes. Los más comunes son:

   • FIFO (First In, First Out): El primero que llega es el primero en ser atendido (típico de un supermercado).
   • LIFO (Last In, First Out): El último que llega es el primero en ser atendido (común en algunos procesos productivos o logísticos).
   • Prioridades: Se atiende según un nivel de prioridad, como la atención preferente a adultos mayores o las urgencias en un hospital.

   Dentro de la disciplina por prioridades, existen dos tipos:

   • Preemptive (con interrupción): El cliente con mayor prioridad puede interrumpir al que está siendo atendido.
   • No preemptive (sin interrupción): El cliente con prioridad espera hasta que el servidor termine con el cliente que ya está siendo atendido.

4. Capacidad del sistema

   Se refiere al número máximo de clientes que pueden esperar o ser atendidos. Si el espacio es limitado, se habla de una cola finita.

5. Número de canales de servicio (C)

   Indica cuántos servidores están atendiendo. Un sistema puede tener una sola cola para varios servidores (multicanal) o una cola por cada servidor.

6. Número de etapas del servicio

   El servicio puede ser de una sola etapa (unietapa) o de varias etapas (multietapa). Por ejemplo, en una peluquería podría haber varias etapas: lavado, corte y secado.

Ejercicios Prácticos Resueltos de Teoría de Colas

Ejercicio 1: Andarivel en un Centro de Esquí

Imagina que eres el/la gerente de Operaciones del centro de esquí de Valle Nevado. El andarivel más concurrido es capaz de recibir a un esquiador cada 20 segundos. En un día de baja afluencia, llegan en promedio 120 esquiadores por hora a este andarivel. Considera que la llegada y el servicio se distribuyen de forma exponencial, la fila es única y se atiende por orden de llegada.

Calcula:

1. Tasa de ocupación del andarivel.
2. Cantidad de esquiadores promedio en la fila.
3. Cantidad de esquiadores promedio en el sistema.
4. Minutos en promedio que espera un esquiador en la fila.
5. Minutos en promedio que pasa un esquiador en el sistema.
6. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 50 esquiadores en el sistema?
7. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema (andarivel y fila) esté vacío?

Ejercicio 2: Taller de Reparación de Bicicletas

Un pequeño taller repara bicicletas por orden de llegada. Durante la semana, llegan 30 bicicletas por día. Cada reparación demora en promedio 15 minutos, y el taller trabaja 10 horas al día. Asume que hay una sola línea de espera y un único mecánico.

Calcula:

1. Tasa de ocupación del taller.
2. Cantidad de bicicletas promedio en el sistema.
3. Minutos en promedio que espera una bicicleta en la fila para ser reparada.
4. ¿Cuál es la probabilidad de que el taller esté vacío (sin bicicletas)?
5. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 4 bicicletas esperando en la fila?

Ejercicio 3: Ventanilla de Atención en un Banco

Un pequeño banco tiene una sola ventanilla de atención al cliente. Los clientes llegan siguiendo un proceso de Poisson con una tasa promedio de λ = 11 clientes por hora. El tiempo de servicio por cliente se distribuye exponencialmente con una tasa de servicio promedio de μ = 15 clientes por hora.

Calcula:

1. La tasa de ocupación de la ventanilla.
2. La cantidad de clientes promedio en la fila.
3. Los minutos en promedio que pasa un cliente en el sistema.
4. La probabilidad de que haya 3 clientes en el sistema.
5. La probabilidad de que haya entre 2 y 4 clientes en el sistema (inclusive).

Ejercicio 4: Peluquería Unipersonal

Una peluquería tiene un único peluquero que atiende a los clientes interesados en un nuevo corte de pelo. La tasa de llegada es de 3 clientes por hora. Se sabe que el tiempo de servicio del peluquero es de 15 minutos por cliente.

Calcula:

1. La tasa de ocupación.
2. La cantidad de clientes promedio en la fila.
3. Los minutos en promedio que pasa un cliente en el sistema.
4. La probabilidad de que haya menos de 5 clientes en el sistema.

Ejercicio 5: Servidores Web para Black Friday

Para el reciente Black Friday, una empresa evaluó dos alternativas de servidores para gestionar su sitio web. Se estima que tendrá una demanda de 5.500 clientes por hora. Tanto el patrón de llegada como la atención se consideran exponenciales.

• Servidor A: Capacidad de atender en promedio 8.000 clientes por hora.
• Servidor B: Capacidad de atender en promedio 13.000 clientes por hora.

Calcula lo siguiente para cada servidor (A y B):

1. La tasa de ocupación del servidor (porcentaje de tiempo ocupado).
2. Cuántos clientes hay en promedio en la fila.
3. Cuántos clientes hay en promedio en el sistema.
4. Cuántos minutos en promedio pasan los clientes esperando en la fila.
5. Cuántos minutos en promedio pasan los clientes en el sistema.