1. ¿Es función o no? — El método más sencillo
Regla fundamental: Mira solo el primer número de cada pareja (coordenada x).
- ✅ Si NO se repite = ES FUNCIÓN
- ❌ Si se repite = NO ES FUNCIÓN
⚠️ El segundo número no influye en esta decisión; puede repetirse múltiples veces y la relación seguirá siendo una función.
Ejemplos prácticos:
Ejercicio 1: (1,3) (4,3) (6,3)
- Paso 1: Extraer los primeros números → 1, 4, 6
- Paso 2: ¿Se repite alguno? → NO ✅
- Paso 3: Conclusión → ES FUNCIÓN ✅
Ejercicio 2: (2,5) (2,7) (3,9)
- Paso 1: Extraer los primeros números → 2, 2, 3
- Paso 2: ¿Se repite alguno? → SÍ, el 2 aparece dos veces ❌
- Paso 3: Conclusión → NO ES FUNCIÓN ❌
Ejercicio 3: (0,2) (1,5) (2,5)
- Paso 1: Extraer los primeros números → 0, 1, 2
- Paso 2: ¿Se repite alguno? → NO ✅
- Paso 3: Conclusión → ES FUNCIÓN ✅
🧠 Resumen: Si el primer número no se repite, es función. Si se repite, no lo es. ¡Así de fácil!
2. Dominio y Rango — Conceptos Clave
Definiciones:
- Dominio: Es el conjunto de TODOS los primeros números (valores de x) de cada pareja.
- Rango: Es el conjunto de TODOS los segundos números (valores de y) de cada pareja.
- ⚠️ Importante: NUNCA repitas números. Si un valor aparece varias veces, se escribe una sola vez en el conjunto.
Ejercicio de aplicación:
Parejas: (1,3) (4,5) (6,3)
- Paso 1: Sacar primeros números → 1, 4, 6 = Dominio ✅
- Paso 2: Sacar segundos números → 3, 5 = Rango ✅ (el 3 se repite, por lo que se anota una sola vez).
- Respuesta: Dominio = {1, 4, 6} | Rango = {3, 5}
🧠 Resumen: Dominio = primeros valores | Rango = segundos valores | Sin repeticiones.
3. Evaluar una Función — Sustitución de Variables
Evaluar consiste en tomar una función f(x) y calcular su valor para un número específico, como f(2), f(5) o f(-1).
Regla: Donde veas la letra x, cámbiala por el número indicado y realiza las operaciones matemáticas normales.
Ejemplos resueltos:
Ejercicio 1: f(x) = 3x + 2 → calcular f(4)
- Paso 1: Sustituir x por 4 → 3(4) + 2
- Paso 2: Multiplicar primero → 3 × 4 = 12
- Paso 3: Sumar → 12 + 2 = 14
- Respuesta: 14 ✅
Ejercicio 2: f(x) = 2x² → calcular f(3)
- Paso 1: Sustituir x por 3 → 2(3)²
- Paso 2: Resolver la potencia primero → 3 × 3 = 9
- Paso 3: Multiplicar → 2 × 9 = 18
- Respuesta: 18 ✅
Ejercicio 3: f(x) = 5 − 2x → calcular f(-2)
- Paso 1: Sustituir x por -2 → 5 − 2(-2)
- Paso 2: Aplicar ley de signos (menos por menos da más) → -2 × (-2) = +4
- Paso 3: Sumar → 5 + 4 = 9
- Respuesta: 9 ✅
🧠 Resumen: x = el número dado → sustituyes y calculas siguiendo el orden de las operaciones.
4. Función Lineal — f(x) = mx + b
Entender los componentes de la recta:
- m = pendiente: Indica la inclinación (si la recta sube o baja).
- m positivo (ej: 2, 5, 1/2) → La recta SUBE (crece) ↗
- m negativo (ej: -3, -1, -2/3) → La recta BAJA (decrece) ↘
- b = ordenada al origen: Es el punto donde la línea cruza el eje vertical (eje Y).
Ejemplos:
Ejercicio 1: f(x) = 2x − 3
- Paso 1: m = 2 (positivo) → La función SUBE ↗ ✅
- Paso 2: b = -3 → Corta el eje Y en -3 ✅
Ejercicio 2: f(x) = -x + 5
- Paso 1: m = -1 (negativo) → La función BAJA ↘ ✅
- Paso 2: b = 5 → Corta el eje Y en 5 ✅
🧠 Resumen: m > 0 sube | m < 0 baja | b = punto de corte en el eje Y.
5. Suma y Resta de Funciones — Agrupación de Términos
Reglas básicas:
- Suma: Se agrupan los términos con x entre sí y los números independientes entre sí.
- Resta: Se realiza el mismo proceso, pero CAMBIA EL SIGNO de todos los términos del segundo paréntesis.
Ejemplos:
Ejercicio Suma: f(x) = 2x + 1 ; g(x) = 3x − 4 → Calcular (f + g)(x)
- Paso 1: Agrupar las x → 2x + 3x = 5x
- Paso 2: Agrupar los números → 1 + (-4) = -3
- Respuesta: 5x − 3 ✅
Ejercicio Resta: f(x) = 2x + 1 ; g(x) = 3x − 4 → Calcular (f − g)(x)
- Paso 1: Cambiar signos del segundo término → 3x se vuelve -3x | -4 se vuelve +4
- Paso 2: Agrupar x → 2x − 3x = -x
- Paso 3: Agrupar números → 1 + 4 = 5
- Respuesta: -x + 5 ✅
🧠 Resumen: Suma = agrupar directamente | Resta = cambiar signos del segundo y luego agrupar.
6. Composición de Funciones — Una función dentro de otra
La notación (f ˆ g)(x) = f(g(x)) significa que debemos introducir una función dentro de la otra.
Regla: Tomas la función interna y la colocas en el lugar de la x de la función externa.
Ejercicio práctico:
Datos: f(x) = 2x + 3 ; g(x) = x + 5 → Calcular (f ˆ g)(x)
- Paso 1: Identificar la función interna → g(x) = x + 5
- Paso 2: En la función f, sustituir la x por toda la expresión de g → 2(x + 5) + 3
- Paso 3: Aplicar propiedad distributiva → 2x + 10 + 3
- Paso 4: Agrupar términos semejantes → 2x + 13
- Respuesta: 2x + 13 ✅
🧠 Resumen: De adentro hacia afuera. Sustituyes, multiplicas y simplificas.
7. Función Cuadrática — La Parábola
La forma general es f(x) = ax² + bx + c. Lo principal es observar el coeficiente a:
- Si a es positivo (a > 0) → La parábola abre HACIA ARRIBA ⬆️ (forma de sonrisa).
- Si a es negativo (a < 0) → La parábola abre HACIA ABAJO ⬇️ (forma de boca triste).
Ejemplos:
Ejercicio 1: f(x) = 3x² − 2x + 1
- a = 3 (positivo) → ABRE HACIA ARRIBA ⬆️ ✅
Ejercicio 2: f(x) = -2x² + 5x
- a = -2 (negativo) → ABRE HACIA ABAJO ⬇️ ✅
🧠 Resumen: a+ arriba | a− abajo. ¡Sin complicaciones!
Resumen Final de Conceptos
- ✅ FUNCIÓN: El primer número NO se repite.
- ✅ DOMINIO: Conjunto de los primeros números | RANGO: Conjunto de los segundos números (sin repetir).
- ✅ EVALUAR: Sustituir x por el número y calcular.
- ✅ LINEAL: m > 0 crece ↗ | m < 0 decrece ↘ | b = corte en eje Y.
- ✅ SUMA: Agrupar términos | RESTA: Cambiar signos del segundo y agrupar.
- ✅ COMPOSICIÓN: Insertar g dentro de f y resolver.
- ✅ CUADRÁTICA: a+ abre hacia arriba ⬆️ | a− abre hacia abajo ⬇️.